• Oggi, stimolato dalle cose strane che ho sentito dire da laureati in matematica e fisica che stanno affrontando il TFA per l'insegnamento della matematica e della fisica nelle scuole superiori, vi propongo di riflettere su un tema che non avevo inzialmente previsto. Che cos'è, secondo voi, una funzione? Discussione libera.
• Dopo questa prima discussione proviamo ad affrontare queste attività con R e leggiamoci le considerazioni allegate.
• Esaminiamo anche questi esempi.
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Quanto discusso finora fa emergere l'esigenza di inquadrare la nascita del concetto di funzione.
Diamo, quindi, un'occhiata a qualche considerazione storica.
Leggiamo rapidamente questo documento da
WikiPedia. Poi vi preparerò io una breve storia del concetto di funzione. Una prima traccia:
In breve:
• I primi usi del termine funzione sono stati messi a punto da dei "fisici-matematici";
il primo uso esplicito, in base ai documenti di cui si dispone, fu fatto da Leibniz (intorno al 1670), per descrivere oggetti
che rientrano in quelle che noi oggi consideriamo funzioni infinitamente derivabili.
• Intorno al 1750 Eulero lo usò anche per funzioni a più valori definite implicitamente da equazioni,
e scrisse "quando certe quantità dipendono da altre in modo che essere subiscano un cambiamento se queste cambiano si chiamano funzioni
di esse".
• Cauchy, ancora nel 1820, credeva che "ciò che è vero fino al limite è vero del limite". In particolare
pensava che quella che ora chiamiamo una serie di funzioni continue converga ad una funzione continua.
• È, circa, tra il 1850 e il 1880 che incomincia a nascere l'esigenza di non accettare "principi" come
formulazioni matematiche di "proprietà fisiche evidenti", ma di basarsi su definizioni e dimostrazioni autonome.
Ciò si verifica quando incominciano a scoprirsi nuovi ambiti applicativi della matematica (non solo la meccanica, ma
anche l'economia, le scienze sociali, la biologia, la demografia, … e nuovi settori della fisica).
Questo fenomeno non è solo interno alla "matematica": anche la "fisica" si apre a nuovi orizzonti, in cui i classici strumenti dell'analisi
matematica sino allora sviluppati non sono più sufficienti. È in questo periodo che la matematica incomincia
a staccarsi dalla fisica e a diventare una disciplina autonoma (anche a livello istituzionale: nascono le riviste scientifiche matematiche,
l'insegnamento universitario e i congressi di discipline matematiche, …). Nello stesso tempo la fisica incomincia a caraterizzarsi
autonomamente dalla matematica; ma, contemporaneamente, le due discipline trovano nuove forme, più intense, di integrazione.
• È la nascita del concetto "moderno" di funzione che segna in modo significativo questo fenomeno.
Infatti il problema di rendere autonoma la matematica si traduce nel "definire" - senza appoggiarsi a considerazioni fisiche o intuitive - il concetto di funzione.
Le prime sistemazioni di esso risalgono alla fine dell'800, quando da una parte vengono messe a punto le prime sistemazioni logiche della matematica
(in cui viene formalizzato l'uso dei simboli funzionali a uno e più input) e dall'altra vi sono le prime caratterizzazioni
come coppie di input e output (ovviamente stiamo usando un lessico informatico più recente), precisate poi all'inizio del XX secolo
anche con la definizione insiemistica di coppia ordinata (la coppia ordinata (x,y) è definita come l'insieme {{x},{x,y}}).
• La definizione a cui fanno in genere riferimento i corsi universitari (non quelli di logica matematica o di teoria delle categorie)
è quella, successiva, del 1939, del gruppo di matematici noto come "Bourbaki" (che era "nemico" della logica matematica
e di tutti i settori applicativi della matematica):
una funzione è una terna (F,A,B) dove F è un sottoinsieme del prodotto cartesiano A×B tale che
per ogni elemento x di A esista un unico elemento y di B tale che la coppia (x,y) appartenga a F o (come viene precisato)
per ogni elemento x di A esista al più un unico elemento y … (e l'insieme degli x di A per cui esiste y tale che …
viene chiamato "insieme di definzione" di F). Ma si precisa, anche, come descrivere in questo modo le varie funzioni, più o meno
come viene accennato qui: tuttavia nei libri di scuola, e spesso neanche nei corsi universitari, in cui
si fa riferimento a questo approccio ciò non viene neanche preso in considerazione …