Il progetto Kangourou-Liguria

Dipartimento di Matematica Università di Milano

Dipartimento di Matematica Università di Genova

Enti promotori:   Kangourou Italia e Dipartimento di Matematica dell'Università di Genova
Nome del progetto:   Progetto Kangourou Liguria
Scuole coinvolte:   Scuola Elementare Mazzini (Genova), Scuola Media Alighieri (Albenga), Scuola Media Descalzo (Sestri Levante), Scuola Media Lomellini-Cantore (Genova), Scuola Media Mazzini-Ramella (Loano), Scuola Media Orsoline di Maria Immacolata (Rapallo), Scuola Media Strozzi (Genova), Istituto Magistrale Pertini (Genova), Istituto Tecnico Montale (Genova), Liceo Artistico Klee (Genova), Liceo Classico Chiabrera (Savona), Liceo Scientifico Bruno (Albenga), Liceo Scientifico Nicoloso da Recco (Recco).
Breve descrizione:   Il "Kangourou" è una gara matematica su quesiti a scelta multipla che vede la partecipazione ad una stessa data di quasi 3milioni di giovani dalle elementari alle ultime classi delle superiori in oltre 30 paesi. Lo scopo dell'iniziativa non è tanto quello di ricercare "genietti" quanto quello di promuovere, anche attraverso la diffusione di giochi ed altri materiali divulgativi, una immagine dilettevole e attraente della Matematica. Nel 2003/2004, con la collaborazione del gruppo didattico MaCoSa dell'Università di Genova e della Direzione scolastica regionale per la Liguria, il comportamento degli studenti liguri di fronte ai quesiti della Gara e ad altri quesiti con diversa impostazione, appositamente predisposti, sono stati analizzati statisticamente, confrontati con quelli nazionali e discussi con i docenti che hanno collaborato alla iniziativa in un apposito convegno. Sono emerse significative considerazioni didattiche, che saranno approfondite con una analoga iniziativa che si realizzerà nel successivo anno scolastico.
Referenti del Progetto:   Angelo Lissoni (per Kangourou Italia), Carlo Dapueto (per il Dipartimento di Matematica di Genova), Laura Capelli (per la Direzione Scolastica della Liguria)
Siti:   http://www.kangourou.it,   http://macosa.dima.unige.it/kang
indirizzo (del Dipartimento di Matematica di Genova):   via Dodecaneso, 35 - 16146 Genova
telefono:   010 353 6825
E-mail:   macosa@dima.unige.it

1.  Il Progetto Kangourou-Liguria è una iniziativa che si è sviluppata nell'anno scolastico 2003/2004 con il duplice obiettivo di promuovere un'immagine della matematica più attraente e più legata alla realtà, rispetto a quanto lo sia nella visione stereotipata tradizionale, e di avviare una riflessione sulle competenze matematiche degli alunni liguri assieme ai docenti dei vari livelli scolastici.
    Il progetto ha coinvolto varie classi terminali della scuola elementare, della scuola media inferiore, del biennio e del triennio della scuola superiore e si è articolato in varie fasi: la presentazione dell'iniziativa in alcuni incontri rivolti ai docenti, la distribuzione di materiali (sia prototipi di quesiti che materiali di divulgazione matematica), lo svolgimento della gara internazionale di matematica Kangourou, lo svolgimento di una seconda prova diversamente impostata, la discussione degli esiti e dei problemi emersi in un apposito convegno (e premiazioni). È prevista una nuova realizzazione dell'iniziativa, opportunamente rivista, per il prossimo anno scolastico, anche per approfondire sia l'analisi delle competenze matematiche dei ragazzi che la problematica di come raccordare, rispetto ad esse, l'insegnamento nei diversi cicli scolastici.
    Rinviando ai siti http://www.Kangourou.it e http://macosa.dima.unige.it/kang per, rispettivamente, una descrizione più esauriente della impostazione e delle finalità della gara Kangourou e una descrizione più completa del progetto e di quanto è emerso dalle prove, qui illustriamo attraverso alcuni esempi sia la tipologia dei quesiti proposti che le riflessioni didattiche che sono state affronate a partire da essi. Da entrambi i siti si può accedere ad altri materiali relativi all'educazione matematica.

2.  Per brevità ci riferiremo solo alla 3ª media. Ecco 5 dei 30 quesiti della gara Kangourou.

K1)  La figura illustra una sequenza di operazioni che dą come risultato 50. Da quale numero siamo partiti?

A) 18   B) 24   C) 30   D) 40   E) 42

K2)  Qual è il massimo valore possibile per il resto della divisione fra un numero intero di due cifre e la somma delle sue due cifre?

A) 9   B) 13   C) 15   D) 16   E) 17

K3)  Nel primo di due anni consecutivi non bisestili ci sono stati più giovedì che martedì. Quale tra i seguenti giorni della settimana è stato più frequente nel secondo anno?

A) martedì   B) mercoledì   C) venerdì   D) sabato   E) domenica

K4)  Osserva la figura. Nella tanica I, la cui base ha una superficie di 2 decimetri quadrati, l'acqua raggiunge l'altezza di 5 centimetri. La tanica II, alta 7 centimetri e la cui base ha una superficie di 1 decimetro quadrato, viene immersa, vuota, nella tanica I fino ad essere ancorata sul fondo di questa. A questo punto una parte dell'acqua si riversa nella tanica II. Che altezza raggiunge l'acqua nella tanica II? (Considera trascurabile lo spessore delle pareti delle taniche.)

A) 1 cm   B) 2 cm   C) 3 cm   D) 4 cm   E) 5 cm

K5)  Un negozio di Milano e un negozio di Rimini in primavera vendono gli stessi articoli agli stessi prezzi. Durante l'estate il negozio di Milano riduce i prezzi del 10% e in autunno li aumenta del 10% rispetto a quelli praticati in estate; quello di Rimini fa esattamente l'opposto, cioè aumenta del 10% i prezzi durante l'estate e li riduce in autunno del 10% rispetto a quelli praticati in estate. In autunno rispetto a primavera.

A) il negozio di Milano è pił caro e quello di Rimini meno caro  B) il negozio di Milano è meno caro e quello di Rimini pił caro  C) entrambi i negozi sono più cari  D) entrambi i negozi sono meno cari  E) entrambi i negozi hanno mantenuto i prezzi inalterati

3.  Ecco 4 degli 11 quesiti (a volte a più domande e con risposta aperta) in cui era articolata la prova integrativa per la 3ª media.

P1)  Con una calcolatrice eseguo 1456 / 15 battendo 1456 15 e ottengo sul visore:  971.06667.  Secondo te:
(A)  Ho battuto correttamente i tasti
(B)  Ho battuto un altro tasto di operazione invece di
(C)  Non ho od ho premuto poco una cifra di 1456
(D)  Non ho od ho premuto poco una cifra di 15
(E)  Ho premuto troppo tempo o 2 volte una cifra di 1456

P2)  Per quali valori di x sono vere le seguenti formule:
3/4 = x	...............
2(x – x) = 0	...............
x = 3 x	...............

P3)  Stima:
la lunghezza di una carrozza ferroviaria	(A) 10 m   (B) 20 m   (C) 40 m (D) 60 m   (E) 80 m
la distanza stradale Milano-Venezia	(A) 100 km   (B) 300 km   (C) 500 km (D) 700 km   (E) 1000 km
il peso d'un punto metallico per cucitrice	(A) 0.02 g   (B) 0.5 g   (C) 2 g (D) 5 g   (E) 10 g
il prezzo di 1 kg di formaggio grana (nel 2004)	(A) 1 €   (B) 3 €   (C) 6 € (D) 15 €   (E) 40 €

P4)  Una persona ha incominciato a rappresentare nella scuola elementare come man mano variavano la sua altezza e il suo peso e ha continuato a farlo per tutta la vita. Ecco i grafici che ha ottenuto. Completali mettendo il titolo giusto (ALTEZZA o PESO) e mettendo i valori corrispondenti nei riquadri vicini agli assi.

4.  Un primo aspetto emerso è che, relativamente alla gara Kangourou, gli studenti liguri non si differenziano sostanzialmente da quelli del resto d'Italia (si sono comportati leggermente meglio): i 273 alunni di 3ª media liguri che hanno partecipato hanno ottenuto 14.8 come punteggio medio, contro il 13.3 ottenuto mediamente dal complesso dei 4526 alunni italiani di 3ª media. Inoltre le difficoltà incontrate di fronte ai vari quesiti sono analoghe: se confrontiamo le percentuali di risposte corrette ottenute quesito per quesito dai liguri con quelle ottenute dal complesso degli italiani otteniamo un coefficiente di correlazione pari quasi ad 1. La cosa è ben evidenziata dal diagramma a lato, in cui ogni punto rappresenta un quesito: l'ascissa è la percentuale di risposte corrette degli italiani, l'ordinata è la percentuale dei liguri (il coefficiente di correlazione sarebbe esattamente 1 se i punti fossero disposti lungo una retta che sale; sarebbe -1 se fossero disposti lungo una retta che scende). Questa stabilità di comportamento ha reso attendibili gli esiti dei quesiti anche per trarne spunti per alcune considerazioni generali, a cui accenniamo nei punti seguenti.

5.  Il quesito sopra chiamato "K1" è quello, tra i 30 quesiti, che si è correlato maggiormente (coeff. corr. 0.40) al punteggio complessivo della Gara Kangourou: chi meglio/peggio ha risposto al quesito tendenzialmente a ottenuto (sul complesso delle domande) un punteggio migliore/peggiore. Se ci restringiamo ai 227 (5%) degli studenti che ha avuto le prestazioni migliori, il quesito maggiormente correlato al punteggio finale (coeff. corr. 0.34) è il quesito K4. Gli altri due quesiti sono quelli peggio correlati al punteggio complessivo: K3 è quello con correlazione pessima (0.05) sull'intero campione, K2 è quello con correlazione pessima, addirittura negativa (-0.19), nel caso degli alunni "migliori"; e ciò non significa che questi siano risultati più difficili (al K2 il 60% dei migliori ha risposto correttamente, e la percentuale media di risposte corrette è stata del 52%). Il quesito complessivamente andato peggio è K5 (5% di risposte corrette), che è risultato uno dei più difficili anche tra i migliori (solo 25% di risposte corrette). A partire da analisi di questo tipo si possono avviare riflessioni:
- sia su come impostare prove di verifica adeguate per i diversi livelli di competenza;
- sia su quali siano le attività matematicamente più significative: quelle più "interne" a settori specifici della matematica o quelle che intrecciano maggiormente settori e linguaggi matematici diversi, e aree matematiche a contesti esterni alla matematica;
- sia su che cosa sia all'origine delle difficoltà incontrate in concetti di base come quelli di rapporto e percentuale (forse il fatto che, nonostante le indicazioni contrarie dei programmi del 1979, spesso i libri di testo affrontano i problemi di proporzionalità facendo memorizzare regolette su "medi" ed "estremi" invece che ragionare in termini di funzioni ed equazioni?).

6.  Nel caso dei quesiti aggiuntivi, il quesito P1 e la prima e ultima domanda del quesito P3 sono quelle che si sono maggiormente correlate al punteggio complessivo (coeff. corr. 0.4). Il quesito P4, assieme ad un quesito di probabilità, è quello che andato peggio. Le riflessioni suscitate sono simili a quelle accennate sopra. Col quesito P2, poi, si è verificato lo strano fenomeno che la prima e la terza delle domande in cui si articola sono quelle, tra il complesso di tutte le domande presenti tra i quesiti, che si sono tra loro maggiormente correlate (0.7), mentre entrambe hanno avuto correlazione negativa (-0.2) con la seconda domanda del quesito; in ogni caso le risposte corrette a quesiti come questi, che non richiedevano alcun calcolo, sono state circa 1/3; quali sono i problemi didattici nell'avvio alla risoluzione delle equazioni che sono all'origine di questo fenomeno?

7.  Un ultimo problema su cui riflettere: che cosa vuol dire essere bravi in matematica? Dall'analisi degli esiti emerge che chi è "bravo" di fronte a certi tipi di quesiti non lo è di fronte ad altri. La cosa emerge anche tra le due prove in cui si è articolato il progetto. La figura seguente visualizza il comportamento degli alunni di terza media che hanno partecipato ad entrambe; passando dal primo al terzo diagramma si sono trascurati, per ciascuna prova, prima il 25% e poi il 50% di coloro che hanno ottenuto il punteggio peggiore. Si vede che la correlazione tra i punteggi delle due prove via via si riduce.

Questo è un problema cruciale, se si vuol far fronte ai troppi che dicono di non capire la matematica, e al diffuso analfabetismo matematico e scientifico, purtroppo spesso inconsapevolmente testimoniato da chi, per mestiere, ci "informa" da giornali e televisioni.