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è opportuno cercare di capire, prima di mettersi a fare manipolazioni, se è possibile risolvere l'equazione direttamente, e, nel caso si debba procedere con manipolazioni, scegliere le trasformazioni più convenienti (non esiste un'unica ricetta per risolvere un'equazione!):

2 t +1 = 0
si conclude subito che non ci sono soluzioni: qualunque sia t, 0≤t² e, quindi, t²+1>0;

a+1 ——— = 1 a
si conclude subito che non ci sono soluzioni: il rapporto tra numeri differenti non è mai 1;

x(x+1) = 0
senza sviluppare x(x+1) in x²+x si osserva: affinché il prodotto tra x e x+1 sia 0 occorre (e basta) o che x sia 0 o che x+1 sia 0 (cioè x sia –1), per cui le soluzioni sono 0 e –1.

in alcuni casi il problema che viene modellizzato mediante l'equazione considerata impone delle restrizioni alla variazione della incognita; occorre tenerne conto risolvendo l'equazione:
• ad esempio se in (20–2x)²x = 300 la variabile x rappresenta la lunghezza in cm di un oggetto lungo al più 10 cm (come accadeva nel caso considerato sopra), devo limitarmi a cercare le soluzioni in [0,10]; in altre parole il problema è modellizzato da: (20–2x)²x = 300 AND 0 ≤ x ≤ 10.

l'esame preventivo del dominio dell'equazione può far risparmiare inutili manipolazioni;
• ad esempio di fronte a (–x) = (x–1) posso osservare che il primo membro è definito per x≤0, il secondo per 1≤x, e quindi, poiché l'equazione non è definita per alcun x (x≤0 AND 1≤x è sempre falsa), non ha senso cercare di risolverla.

una equazione vera – cioè che, comunque si sostituiscano numeri alle variabili (senza rendere indefiniti i termini che compaiono in essa), risulta vera – viene detta anche identità; una equazione falsa – cioè che, comunque si sostituiscano numeri …, risulta falsa – in qualche libro è chiamata equazione impossibile (nel senso che è impossibile trovare soluzioni perché non ne esistono, non perché non si è capaci di trovarle);

2 2x ———— = 2x x
è un'identità poiché è vera per tutti gli x per cui è definita (cioè per ogni x diverso da 0); tuttavia i due membri dell'equazione non sono algebricamente equivalenti in quanto hanno domini diversi;

(–x) = x
è un'identità poiché è vera per tutti gli x per cui è definita (cioè per x=0);

2 t +1 = 0
è falsa poiché t²+10 per ogni t;

la quantità delle soluzioni di un'equazione può variare da caso a caso:
• le equazioni false hanno 0 soluzioni;
• le equazioni vere possono avere un numero di soluzioni infinito (come nel primo esempio del punto precedente) o finito (come nel secondo esempio);
• l'equazione |2x+1|–|x–1|–x = k, risolta rispetto a x, può avere 0, 1, 2 o infinite soluzioni a seconda del valore di k:

il grafico di x |2x+1|–|x–1|–x, riprodotto a lato, interseca la retta orizzontale y=k:

• 0 volte se k < –1
• 1 volta se k = –1 (la soluzione è –1/2)
• 2 volte se –1 < k < 2 (se k = 0 le soluzioni sono –1 e 0)
• infinite volte se k = 2 (l'insieme delle soluzioni è [1,){–2})
• 1 volta se k>2

dopo la risoluzione di un'equazione attraverso manipolazioni, è utile verificare se le soluzioni trovate sono effettivamente soluzioni, cioè se, sostituite alla variabile assunta come incognita, rendono vera l'equazione: nel corso delle manipolazioni potrebbero essersi verificati degli errori; ad es. se dopo la seguente risoluzione di equazione:

     2        2          2    2        2    2
12 + ——— = 3x + ——— —> 12 + ——— — ——— = 3x + ——— — ——— —> 12=3x —> x=4
    x-4      x-4 |      x-4  x-4      x-4  x-4 |        |
                 |                             |
                      2                        |  applico /3 e
           applico - ———           semplifico ——
                     x-4                          inverto l'eq.

verifico quanto ottenuto sostituendo 4 a x nell'equazione originale, ottengo:

     2         2         2      2
12 + ——— = 3·4 + ——— —> 12 + — = 12 + —
    4-4       4-4        0      0

che non è definita.

2 t +1 = 0	si conclude subito che non ci sono soluzioni: qualunque sia t, 0≤t² e, quindi, t²+1>0;
a+1 ——— = 1 a	si conclude subito che non ci sono soluzioni: il rapporto tra numeri differenti non è mai 1;
x(x+1) = 0	senza sviluppare x(x+1) in x²+x si osserva: affinché il prodotto tra x e x+1 sia 0 occorre (e basta) o che x sia 0 o che x+1 sia 0 (cioè x sia –1), per cui le soluzioni sono 0 e –1.

2 2x ———— = 2x x	è un'identità poiché è vera per tutti gli x per cui è definita (cioè per ogni x diverso da 0); tuttavia i due membri dell'equazione non sono algebricamente equivalenti in quanto hanno domini diversi;
(–x) = x	è un'identità poiché è vera per tutti gli x per cui è definita (cioè per x=0);
2 t +1 = 0	è falsa poiché t²+10 per ogni t;

il grafico di x \|2x+1\|–\|x–1\|–x, riprodotto a lato, interseca la retta orizzontale y=k:
	• 0 volte se k < –1 • 1 volta se k = –1 (la soluzione è –1/2) • 2 volte se –1 < k < 2 (se k = 0 le soluzioni sono –1 e 0) • infinite volte se k = 2 (l'insieme delle soluzioni è [1,){–2}) • 1 volta se k>2