Se conosco come varia la velocità v di un'automobile in un intervallo di tempo [a,b], che cosa intendo per velocità media: la velocità costante a cui sarebbe andata per percorrere la strada nello stesso tempo. Quindi il suo valore lo trovo dividendo la strada percorsa per il tempo impiegato.
La strada percorsa, ossia la differenza s(b)−s(a) tra la posizione finale e la posizione inziale (per il teorema fondamentale del calcolo, essendo v(t) = s'(t)) è data da ∫[a,b] v(t) dt. Quindi:   velocità media = ∫[a,b] v(t) dt / (b-a). Passando da v a una generica funzione f continua positiva su [a,b], definiamo come valore medio di f in [a,b] l'altezza m del rettangolo di base [a,b] avente area uguale a quella compresa tra il grafico di f e l'intervallo [a,b]. Più in generale, se f è una qualunque funzione integrabile su [a,b], definiamo come valore medio di f in [a,b] il valore della funzione costante che ha su [a,b] lo stesso integrale, ossia:
m =  ∫[a,b] f ——— b – a

Si ha, facilmente, che vale un teorema del valor medio per gli integrali:
Se f è continua su [a,b], esiste c in [a,b] in cui f assume il valore medio, ossia tale che:
    f(c) = ∫_[a,b] f / (b-a).
Nel caso della figura soprastante, vi sono tre di tali c:  le ascisse dei punti in cui il grafico di f taglia la retta di ordinata m.
Il teorema del valor medio per le derivate, applicato a una funzione integrale di f, mi avrebbe dato gli stessi punti. Nel caso della velocità, un istante c in cui v assume il valor medio (rispetto alla integrazione) è anche un istante in cui s ha come derivata  (s(b)−s(a)) / (b−a).