Trova come semplificare il calcolo del prodotto (1-1/4)(1-1/9)(1-1/16)...(1-1/n²) con una formula e dimostra la cosa per induzione.

Facciamo qualche prova (con una calcolatrice):
1-1/4 = 0.75 (=3/4)    (1-1/4)*(1-1/9) = 0.6666666667 (=4/6)    (1-1/4)*(1-1/9)*(1-1/16) = 0.625 (=5/8)    (1-1/4)*(1-1/9)*(1-1/16)*(1-1/25) = 0.6 (=6/10)
È facile congetturare che (1-1/4)(1-1/9)(1-1/16)...(1-1/n²) = (n+1)/(n*2).
Posso verificare la cosa con WolframAlpha:  (1-1/4)*(1-1/9)*(1-1/16)*...*(1-1/n^2)  →   (n+1)/(2n)
Proviamo a dimostrarlo per induzione.
Passo inziale: (1-1/4) = (2+1)/(2*2) = 3/4   OK
Supponiamo che (1-1/4)(1-1/9)(1-1/16)...(1-1/n²) = (n+1)/(n*2);
(1-1/4)(1-1/9)(1-1/16)...(1-1/n²)(1-1/(n+1)²) =
(n+1)/(n*2)·(1-1/(n+1)²) =
(n+2)/(2*(n+1))  =  ((n+1)+1)/((n+1)*2)   OK