Dagli Elementi di Euclide

Nozioni comuni (Nc)  
1 Cose che sono uguali a una stessa cosa sono anche uguali fra loro
2 Se uguali sono addizionati ad uguali, i rimanenti sono uguali
3 Se uguali sono sottratti da uguali, i rimanenti sono uguali
4  Cose che coincidono l'una con l'altra sono uguali fra loro
5 L'intero è maggiore di una parte

Postulati (Post)

1Si tracci un segmento da un punto qualsiasi a un punto qualsiasi
2Si prolunghi un segmento con continuità su una linea retta
3Si descriva un cerchio con qualunque centro e raggio
4Tutti gli angoli retti siano uguali fra loro
5  Se un segmento incontrando due linee rette forma da una stessa parte angoli interni minori di due retti, le due linee rette si incontrino dalla parte in cui vi sono gli angoli minori di due retti

Proposizione 1
Su una data retta finita, costruire un triangolo equilatero. 
Dim.: 
0)  Considero il segmento AB 
1)  Applico Post3 prendendo come centro il punto A e come raggio il segmento AB 
2)  Applico ancora Post3, considerando come centro B e raggio AB 
3)  Sia C uno dei due punti di intersezione fra i due cerchi che ho costruito. Applico Post1 scegliendo come punti A e C 
4)  Applico ancora Post1, scegliendo come punti B e C     [clicca l'immagine se vuoi ingrandirla] 

5)  Si ha: AC = AB       6)  Si ha: BC = AB       7)  Da 5) e 6) ottengo: AC = BC 
8)  Da 5), 6) e 7) ottengo che ABC è un triangolo equilatero.    

L'esistenza di punti in comune tra rette è garantita da Post5, ma, senza la continuità, chi
mi garantisce l'esistenza [asserita in 3)] di punti in comune tra "curve" che si scavalcano?

Proposizione 4
Se due triangoli hanno due lati uguali a due lati rispettivamente e hanno uguali gli angoli contenuti dalle linee rette uguali, essi avranno anche la base uguale alla base, il triangolo sarà uguale al triangolo, e gli angoli rimanenti saranno uguali rispettivamente agli angoli rimanenti, e precisamente quelli che sono sottesi dai lati uguali
Dim           [clicca l'immagine se vuoi ingrandirla]  :
0)  Considero i due triangoli ABC e DEF. Sia: AB=DE, AC=DF, ∠A=∠D
1)  Trasporto il primo triangolo sul secondo in modo che il punto A si sovrapponga a D e il segmento AB si disponga lungo DE
2)  Poiché AB=DE, per 1) risulta che B è sovrapposto a E e AB è sovrapposto a DE
3)  Poiché A=D e, per 1), AB è disposto lungo DE, si ha che AC è disposto lungo DF
4)  Poiché AC=DF e, per 1), A è sovrapposto a D, da 3) risulta che C è sovrapposto a F e che AC è sovrapposto a DF
5)  Poiché per 2) e 4) B e C sono rispettivamente sovrapposti a E e F, si ha che anche BC è sovrapposto ad EF
6)  Quindi per Nc4, da 2), 4) e 5) segue che i triangoli ABC e DEF sono uguali    

Si esegue [in 1)] un'operazione di "trasporto" di figure la cui possibilitÓ non viene postulata.
   Inoltre:
Dal fatto che esistono un movimento M1 che trasporta A in D, un movimento M2 che
trasporta il segmento AB nel segmento DE e un movimento M3 che trasporta il segmento AC
nel segmento DF, non posso dedurre che esiste un "movimento" (M1 o un altro) che faccia
tutte e tre le cose.  Poi, dati due punti, Post1 assicura l'esistenza di un segmento che li ha per
estremi, non la sua unicitÓ.