Una conseguenza del teorema fondamentale dell'algebra è il seguente teorema, che esprimiamo in due formulazioni tratte da manuali universitari:
(1) Per ogni funzione polinomiale P a coefficienti complessi di grado N maggiore o uguale ad 1 esitono M numeri complessi x1, x2, ..., xM e M numeri interi positivi g1, g2, ..., gM tali che
g1+g2+...+gM = N  e
P(x) = (x-x1)^g1 + (x-x2)^g2 + ... + (x-xM)^gM  per ogni numero complesso x.
(2) Ogni polinomio a coefficienti complessi di grado N ammette precisamente N radici, contate con la loro molteplicità.
    Discuti le due formulazioni.

La formulazione (1) è corretta.
La formulazione (2) è errata. Prima facciamo due precisazioni:  nella formulazione è da sottointendere che è escluso il polinomio nullo, che ha infinite soluzioni;  con "radice" di un polinomio P viene indicata (come precisa il manuale stesso) una soluzione rispetto ad x di P(x) = 0, cioè uno "zero" di P.
L'errore (di linguaggio, ovviamente) è "ammette N radici", ed è un errore da "scuola elementare":
x³ = 0 ha come unica soluzione 0, non tre soluzioni!!!  Il "modo di dire" usato dal manuale può essere "comodo", ma è, evidentemente, errato.

Tenendo conto, poi, che il manuale identifica il termine "radice" con "soluzione", l'errore è veramente grave: le soluzioni sono i numeri che verificano l'equazione e non ha alcun senso pensare ad una loro "molteplicità".
Posso parlare di "molteplicità" se se penso ai "polinomi" correttamente non come "funzioni" ma, "algebricamente", come "termini" del tipo a₀+a₁X+…+a_mX^m dove X è l'indeterminata (del cui insieme poi studio la struttura algebrica di "anello" …).
In questi casi (in cui se k è una radice del "polinomio" f(X) allora k è una soluzione dell'equazione f(X) = 0) ha senso dire che k è una radice di molteplicità 2 se il polinomio è scomponibile come g(X)·(X-k)·(X-k) [con g(X) polinomio] senza che g(X) sia scomponibile come h(X)·(X-k) [con h(X) polinomio].
Ma questi argomenti sono ovviamente affrontabili solo all'università!

Vedi funzioni polinomiali e numeri complessi deGli Oggetti Matematici