Come risolveresti la seguente disequazione in x?

3 2 ————— > ——— 1 - x x

Per prima cosa facciamo uno schizzo a mano dei grafici delle due funzioni in x che sono a primo e a secondo termine (sotto i grafici della prima e della seconda funzione, e la loro sovrapposizione, che qui per comodità sono stati tracciati col computer, con questo script online).  Innanzi tutto il dominio è l'unione degli intervalli (−∞,0), (0,1) e (1,∞).  Abbiamo che le soluzioni, che corrispondono a quando il primo grafico sta sopra al secondo, sono costituite dall'intervallo (−∞,0) unito ad un intervallo del tipo (h,1), con h compreso tra 0 ed 1.

Per determinare h risolviamo l'equazione:

3 2 ————— = ——— 1 - x x	3 2 ————— - ——— = 0 1 - x x
3x - 2 + 2x ———————————— = 0 (1 - x)x	5x = 2 x = 2/5

L'insieme delle soluzioni è quindi (−∞,0) ∪ (2/5,1).

Trovare le soluzioni, anche all'inizio della scuola superiore, è particolarmente semplice, se si prova a ragionare usando gli strumenti più semplici e intuitivi, e se non si cerca di appoggiarsi a regolette e procedimenti stereotipati (che servono solo per quel particolare tipo di problema, su cui non è facile esercitare un controllo, …): un'insegnante che abitui gli alunni a procedere in quest'ulitmo modo ha, di fatto, come obiettivo la loro diseducazione matematica!

Del resto, ad esempio, quando da piccoli impariamo ad usare i "numeri" e ad operare con essi, ci appoggiamo, in modo naturale, a considerazioni "geometriche":  per sottrarre 998 da 1005 immaginiamo, quasi senza accorgercene, la linea dei numeri e valutiamo la distanza tra 998 e 1005  (almeno se non siamo a scuola, con un insegnante che ci impone di operare con un procedimento di calcolo meccanico).

Capito come affrontare il problema, e (in questo semplice caso) come risolverlo simbolicamente, può essere utile risolverlo anche utilizzando il computer, per poi affrontare in tal modo anche problemi più complessi.

Vediamo ad esempio come si può ricorrere a questo script , avendo definito
function f(x) { y = 3/(1-x)-2/x ; return y }
aX = -5; bX = 5; aY = -50; bY = 50
Dx = 1; Dy = 10
e poi
aX = 0; bX = 1; aY = -50; bY = 50
Dx = 0.1; Dy = 10

 

Schizzato il grafico, da cui si deduce la soluzione  x < 0  OR  0.4 < x < 1, posso usare anche lo script:

Come risolverlo con WolframAlpha: