Per quanti valori del parametro reale K il polinomio in x  x³ − x² + K  ammette una radice reale di molteplicità due?

A) Per nessun valore di K		B) Per un unico valore di K
C) Per due valori distinti di K		D) Per tre valori distinti di K

Ricordo che ( I numeri complessi neGli Oggetti Matematici) R è una radice di molteplicità 2 se x³ − x² + K = (x−R)²·f(x) (con f(x) polinomio di grado 1).
Sotto sono rappresentati i grafici della nostra funzione polinomiale per 4 valori di K, per dare un'idea dell'andamento della funzione al variare di K (i grafici sono tracciati col computer, ma dobbiamo saperli schizzare - o immaginare - senza computer, tenendo conto che si tratta di una funzione cubica che tende a ∞ per x → ∞ e tende a −∞ per x → −∞).
È evidente che, per due opportuni valori di K, il grafico può risultare tangente all'asse x o nel punto di massimo relativo (sia A la sua ascissa - si capisce che A = 0) o nel punto di minimo relativo (sia B la sua ascissa). Quindi il polinomio per un valore di K equivale a (x−A)²·g(x) e per un altro equivale a (x−B)²·h(x).
La risposta OK è dunque C.

Il grafico è stato tracciato con questo script.

Il grafico col software online WolframAlpha:

plot x^3 - x^2 + k  for k = -2,-1,0,1,2,3,  -1 < x < 2, -3 < y < 5

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