Cerca la voce "pendulum" in Wikipedia (versione inglese!). Cerca quindi di capire che cosa calcolano (e che cosa mettono in luce) i seguenti comandi, effettuati con R.
k1 = 2/16; k2 = 11/3072; k3 = 173/737280; k4 = 22931/1321205760 T0 = function(a,L,g) 2*pi*sqrt(L/g) T2 = function(a,L,g) 2*pi*sqrt(L/g*(1+a^2*k1)) T6 = function(a,L,g) 2*pi*sqrt(L/g*(1+a^2*k1+a^4*k2+a^6*k3)) T8 = function(a,L,g) 2*pi*sqrt(L/g*(1+a^2*k1+a^4*k2+a^6*k3+a^8*k4)) L = 1; A = 5*pi/180; g = 9.81 print(c(T0(A,L,g),T2(A,L,g),T6(A,L,g),T8(A,L,g)),15) A = 10*pi/180; print(c(T0(A,L,g),T2(A,L,g),T6(A,L,g),T8(A,L,g)),15) A = 20*pi/180; print(c(T0(A,L,g),T2(A,L,g),T6(A,L,g),T8(A,L,g)),15) A = 45*pi/180; print(c(T0(A,L,g),T2(A,L,g),T6(A,L,g),T8(A,L,g)),15) A = 60*pi/180; print(c(T0(A,L,g),T2(A,L,g),T6(A,L,g),T8(A,L,g)),15) A = 90*pi/180; print(c(T0(A,L,g),T2(A,L,g),T6(A,L,g),T8(A,L,g)),15)
(qui i risultati, approssimati con meno cifre: 2.00607, 2.00702, 2.00702, 2.00702 - 2.00607, 2.00988, 2.00989, 2.00989 - 2.00607, 2.02129, 2.02134, 2.02134 - 2.00607, 2.08197, 2.08334, 2.08334 - 2.00607, 2.29467, 2.31677, 2.31733)
Ecco i valori ottenuti con R mediante:
print(c(T0(a,L,g),T2(a,L,g),T6(a,L,g),T8(a,L,g)),15)
con a = 5*pi/180, a = 10*pi/180, a = 20*pi/180, a = 45*pi/180, a = 60*pi/180, a = 90*pi/180
ovvero ottenibili col software online www.WolframAlpha.com [vedi qui] con comandi come questo:
a=5*pi/180; b=a^2*2/16; c=b+a^4*11/3072+a^6*173/737280; d=c+a^8*22931/1321205760; P=2*pi; Q=1/9.81; P*sqrt(Q); P*sqrt(Q*(1+b)); P*sqrt(Q*(1+c)); P*sqrt(Q*(1+d))
T0 T2 T6 T8 2.00606668071065, 2.00702127055195, 2.00702147885056, 2.00702147885062 2.00606668071065, 2.00988231979377, 2.00988565280478, 2.00988565281974 2.00606668071065, 2.02128602016292, 2.02133936373376, 2.02133936754207 2.00606668071065, 2.08197084986585, 2.08334041898525, 2.08334284599672 2.00606668071065, 2.29466770936278, 2.31676788085942, 2.31732652777369
I comandi precedenti
calcolano, in maniera approssimata, il periodo di un pendolo semplice
di lunghezza L metri, in assenza di attrito, con angolo iniziale A e accelerazione
di gravità g m/s². Nei calcoli si fa riferimento a valori costanti di L (1)
e di g (9.81).
Le espressioni T0, T2, T6 e T8 calcolano il periodo con man mano migliore precisione.
Aggiungendo ulteriori addendi (a^10*k5, k5 = 1319183/951268147200,
) si otterrebbero
migliori precisoni (teoriche: nella prassi c'è attrito, gli strumenti di misura
hanno una loro precisione,
).
Si vede che, per oscillazioni molto piccole, la prima formula (T0) è una
buona approssimazione, ma che per oscillazioni maggiori l'approssimazione peggiora.
Il fenomeno, comunque, in assenza di attrito, è periodico, con periodo
proporzionale a √(L/g) (con fattore di proporzionalità prossimo a 2π per
piccole oscillazioni e leggermente maggiore al crescere delle oscillazioni).
L'idea che il pendolo ha tempo di oscillazione indipendente dalla ampiezza fu messa a punto
da Galileo (circa nel 1580), che scoprì anche che il periodo dipendeva linearmente dalla radice quadrata
della lunghezza del pendolo (vedi). Fu poi Huygens (circa nel 1670) a dimostrare il
fatto che il pendolo ha periodo costante solo a partità dell'ampiezza
delle oscillazioni (a lui si deve, sostanzialmente, anche la formula precedente).
Gli orologi a pendolo operano solo con piccole
oscillazioni e sono dotati di dispositivi per mantenerle grosso modo costanti.