Cerca la voce "pendulum" in Wikipedia (versione inglese!). Cerca quindi di capire che cosa calcolano (e che cosa mettono in luce) i seguenti comandi, effettuati con R.

k1 = 2/16; k2 = 11/3072; k3 = 173/737280; k4 = 22931/1321205760
T0 = function(a,L,g) 2*pi*sqrt(L/g)
T2 = function(a,L,g) 2*pi*sqrt(L/g*(1+a^2*k1))
T6 = function(a,L,g) 2*pi*sqrt(L/g*(1+a^2*k1+a^4*k2+a^6*k3))
T8 = function(a,L,g) 2*pi*sqrt(L/g*(1+a^2*k1+a^4*k2+a^6*k3+a^8*k4))
L = 1; A = 5*pi/180; g = 9.81
print(c(T0(A,L,g),T2(A,L,g),T6(A,L,g),T8(A,L,g)),15)
A = 10*pi/180; print(c(T0(A,L,g),T2(A,L,g),T6(A,L,g),T8(A,L,g)),15)
A = 20*pi/180; print(c(T0(A,L,g),T2(A,L,g),T6(A,L,g),T8(A,L,g)),15)
A = 45*pi/180; print(c(T0(A,L,g),T2(A,L,g),T6(A,L,g),T8(A,L,g)),15)
A = 60*pi/180; print(c(T0(A,L,g),T2(A,L,g),T6(A,L,g),T8(A,L,g)),15)
A = 90*pi/180; print(c(T0(A,L,g),T2(A,L,g),T6(A,L,g),T8(A,L,g)),15)

(qui i risultati, approssimati con meno cifre:  2.00607, 2.00702, 2.00702, 2.00702  -  2.00607, 2.00988, 2.00989, 2.00989  -  2.00607, 2.02129, 2.02134, 2.02134  -  2.00607, 2.08197, 2.08334, 2.08334  -  2.00607, 2.29467, 2.31677, 2.31733)

Ecco i valori ottenuti con R mediante:

print(c(T0(a,L,g),T2(a,L,g),T6(a,L,g),T8(a,L,g)),15)

con a = 5*pi/180, a = 10*pi/180, a = 20*pi/180, a = 45*pi/180, a = 60*pi/180, a = 90*pi/180

ovvero ottenibili col software online www.WolframAlpha.com [vedi qui] con comandi come questo:

a=5*pi/180; b=a^2*2/16; c=b+a^4*11/3072+a^6*173/737280; d=c+a^8*22931/1321205760; P=2*pi; Q=1/9.81; P*sqrt(Q); P*sqrt(Q*(1+b)); P*sqrt(Q*(1+c)); P*sqrt(Q*(1+d))

T0                T2                T6                T8
2.00606668071065, 2.00702127055195, 2.00702147885056, 2.00702147885062
2.00606668071065, 2.00988231979377, 2.00988565280478, 2.00988565281974 
2.00606668071065, 2.02128602016292, 2.02133936373376, 2.02133936754207
2.00606668071065, 2.08197084986585, 2.08334041898525, 2.08334284599672
2.00606668071065, 2.29466770936278, 2.31676788085942, 2.31732652777369

I comandi precedenti calcolano, in maniera approssimata, il periodo di un pendolo semplice di lunghezza L metri, in assenza di attrito, con angolo iniziale A e accelerazione di gravità g m/s². Nei calcoli si fa riferimento a valori costanti di L (1) e di g (9.81).
Le espressioni T0, T2, T6 e T8 calcolano il periodo con man mano migliore precisione. Aggiungendo ulteriori addendi (a^10*k5, k5 = 1319183/951268147200, …) si otterrebbero migliori precisoni (teoriche: nella prassi c'è attrito, gli strumenti di misura hanno una loro precisione, …).
Si vede che, per oscillazioni molto piccole, la prima formula (T0) è una buona approssimazione, ma che per oscillazioni maggiori l'approssimazione peggiora. Il fenomeno, comunque, in assenza di attrito, è periodico, con periodo proporzionale a √(L/g) (con fattore di proporzionalità prossimo a 2π per piccole oscillazioni e leggermente maggiore al crescere delle oscillazioni).
L'idea che il pendolo ha tempo di oscillazione indipendente dalla ampiezza fu messa a punto da Galileo (circa nel 1580), che scoprì anche che il periodo dipendeva linearmente dalla radice quadrata della lunghezza del pendolo (vedi). Fu poi Huygens (circa nel 1670) a dimostrare il fatto che il pendolo ha periodo costante solo a partità dell'ampiezza delle oscillazioni (a lui si deve, sostanzialmente, anche la formula precedente). Gli orologi a pendolo operano solo con piccole oscillazioni e sono dotati di dispositivi per mantenerle grosso modo costanti.