A lato è tracciato parte del grafico della funzione x → √(x + 1/x).  Prova a tracciarlo col computer, ad esplicitare la relazione inversa e a tracciarne il grafico.

Possiamo schizzare il grafico della relazione inversa: è simmetrico al grafico della funzione rispetto alla bisettrice del 1º quadrante (osserviamo che abbiamo scelto un sistema monometrico). È costituito da ogni punto (y,x) tale che (x,y) appartiene al grafico della funzione. La funzione non è invertibile, ma possiamo spezzarla in due tratti in cui lo è:  quello a sinistra e quello a destra di x=1.  Cerchiamo di esplicitare l'espressione di queste due funzioni. y = √(x + 1/x)  →  y² = x + 1/x  →  x² - x·y² + 1 = 0  →  x = ( y² ± √(y4-4) )/2 Scambiando y ed x:  y = ( x² ± √(x4-4) )/2 Il grafico di  y = ( x² + √(x4-4) )/2  è rappresentato in verde sotto a destra.  Quello di  y = ( x² - √(x4-4) )/2  è rappresentato in rosso sotto a destra. Elevando al quadrato (il che può eguagliare cose diverse, come -2 ed 2 che al quadrato diventano entrambi 4) ho ottenuto equazioni che estendono il grafico che dovrei ottenere.

In definitiva, la curva viola è (vedi la figura sotto a sinistra) l'unione del grafico di  y = (x² + √(x⁴-4))/2 & x>0  (verde) e di  (x² + √(x⁴-4))/2 & x>0  (rosso).

 

I grafici sono stati realizzati con questo script.