La funzione F: x → (2x 1) / x non è definita per x=0. È possibile definire una funzione G continua in tutto R che coincide con F per tutti gli altri input (la cosa può essere dimostrata; qui limitiamoci a prenderla per buona). Si approssimi il valore di G(0) a 6 cifre. Si affronti il problema usando opportunamente una calcolatrice tascabile.
Tracciando il grafico di F "a mano" o con l'aiuto del computer intuisco che F sia per x![]() ![]() | ![]() |
Con una CT calcoliamo F(x), ossia (2x 1) / x per valori di x man mano più vicini a 0, ottenendo: |
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Si può anche notare che ad ogni divisione di x per 10, ossia man mano che si divide per 10 la distanza dal valore a chi facciamo tendere x, la variazione tra un output e il successivo è man mano più piccola, ossia i valori tendono a stabilizzarsi (si può osservare che al primo passo la variazione è 0.02, poi 0.002, poi 0.0002, ). Possiamo assumere 0.693147 come arrotondamento a 6 cifre del limite per x che tende a 0+ di F e quindi come valore di G(0). Se non avessimo saputo che la funzione era "prolungabile" in 0 in modo da essere continua, avremmo dovuto studiare il limite anche per x che tende a 0-. Avremmo ottenuto una stabilizzazione sullo stesso valore (che avremmo potuto precisare meglio come compreso tra 0.6931471803 e 0.6931471808):
... | ... |
x = -0.0000001 | F(x) = 0.6931472046 |
x = -0.00000001 | F(x) = 0.6931471782 |
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Con considerazioni teoriche meno elementari, una volta introdotta la funzione "logarimo naturale" (ln o log), si può stabilire che il valore esatto del limite è ln(2) (= 0.693147180559945309417 ).
(pow(2,M)-1)/ M M=1e-4 -> 0.6931712037649973 M=1e-5 -> 0.6931495828199629 var = 2.1620945034439565e-5 M=1e-6 -> 0.6931474207938493 var = 2.162026113583515e-6 M=1e-7 -> 0.6931472040783149 var = 2.1671553440683056e-7 M=1e-8 -> 0.6931471840943004 var = 1.9984014443252818e-8 log(2) = 0.6931471805599453 | ← I calcolo potrebbero essere effettuati anche con lo script calcolatrice
(vedi qui). Mi fermo all'input 10^-8, a cui si è arrivati con una variazione che si è ridotta in modo diverso dai casi precedenti e prendo l'approssimazione 0.69314718. Riscontro che corrisponde alla approssimazione di log(2). |
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