Calcolare, se esistono, i seguenti limiti:
lim x → 0  √(x·sin(x)) ———— x	lim x → 0  sin(sin(x)) ———— |x|	lim x → 0+  log(1 + 3√x) ————— √(2x − 1)

• Per x → 0  sin(x)/x → 1, ovvero sin(x) ≈ x  (vedi), quindi il primo limite si comporta come quello di √(x·x)/x, ovvero come quello di |x|/x, che vale 1 per x > 0 e vale −1 per x < 0. Il limite, quindi, non esiste. Esistono, invece, i limiti per x che tende a 0+ e a 0−, che valgono 1 e −1. Sotto il grafico di questa funzione conferma tale ipotesi, che sarebbe confermata anche dal calcolo di G(10^-1), G(-10^-1), G(10^-2), G(-10^-2), ….
• Per x → 0  sin(x) ≈ x, quindi il secondo limite si comporta come quello di sin(x)/|x|, ovvero, per motivi analoghi, come quello di x/|x|, che si comporta esattamente come il limite precedente; esistono i limiti per x che tende a 0+ e a 0− ma non quello per x che tende a 0. Sotto questo comportamento è confermato dal grafico (della funzione H).
• Per x → 1  (vedi)  log(x) ≈ x−1, quindi per x → 0  log(1+x) ≈ x (il grafico è tangente in 0 alla retta y=x) e  log(1+x^1/3) ≈ x^1/3, in quanto x^1/3 → 0.
y = 2^x in x=0 ha per tangente una retta passante per (0,1) inclinata positivamente (non verticale né orizzontale), quindi per x → 0  2^x ≈ 1+kx con k>0.
Concludendo, log(1+x^1/3)/√(2^x−1) ≈ x^1/3/(kx)^1/2 → ∞ in quanto il termine a denominatore va a 0 più velocemente. Sotto questo comportamento è confermato dal grafico (della funzione K). Che il limite sia infinito è confermato anche dai valori di K(x) per x che si avvicina a 0, sotto riportati.

Il grafico precedente è stato realizzato con WolframAlpha mediante il comando
plot y=sqrt(x*sin(x))/x, y=sin(sin(x))/abs(x), y=log(1+x^(1/3))/sqrt(2^x-1), -10 < x < 10

Volendo, i limiti sono facili da studiare anche con la nostra calcolatrice (vedi):

mettendo il termine con Q al posto di x in d e mettendo in g valori man mano più vicini a 0:

sqrt( Q*sin(Q) ) / Q
1e-2, 1e-4, 1e-6, 1e-8
clicco [F] e in k ottengo:
0.999991666673611, 0.9999999991666667, 0.9999999999999166, 1
sin( sin(Q) ) / abs(Q)
1e-2, 1e-4, 1e-6, 1e-8
0.9999666676666413, 0.9999999966666667, 0.9999999999996667, 1
log( 1+pow(Q,1/3) ) / sqrt( pow(2,Q)-1 )
1e-6, 1e-8, 1e-10, 1e-12, 1e-14
11.951563291467696, 25.849562169768635, 55.73820555366888, 120.09964511005258, 259.6735381596165

Calcoli e grafici (realizzati R - vedi):

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R") G = function(x) sqrt(x*sin(x))/x H = function(x) sin(sin(x))/abs(x) K = function(x) log(1+x^(1/3))/(sqrt(2^x-1)) BF=4; HF=4 Plane(-10,10, -1.5,1.5) graph2(G, -10,10, "blue") graph2(H, -10,10, "red") graph2(K, -10,10, "seagreen") type(2.5,0.9,"G"); type(4,-0.3,"H") type(4.1,0.4,"K") POINT(0,1, "brown"); POINT(0,-1, "brown") x = c(1e-5,1e-10,1e-15,1e-20); K(x) # 8.096233 55.738206 387.451270 Inf