Quanto vale   lim _{x → 0}  x / (|x−1|−|x+1|) ?

Per x prossimo a 0  x−1 < 0 e |x−1| = −x+1
Per x prossimo a 0  |x+1| > 0 e |x+1| = x+1
Quindi, per x prossimo a 0, x / (|x−1|−|x+1|) = x / (−x+1−x−1|) = −x/(2x) = −1/2.
Questo è il limite.
Posso confernare la cosa tabulando facilmente la funzione con la "nostra" calcolatrice (vedi):
Q / ( abs(Q-1)-abs(Q+1) )   1, 1e-1, 1e-2, 1e-3  →  -0.5, -0.4999999999999999, -0.49999999999999956, -0.5000000000000273
Tabulando la funzione possiamo anche tracciarne il grafico per avere un'idea migliore del suo comportamento quando l'input si avvicina a 0. Ovvero possiamo tracciarne il grafico con l'aiuto del computer (ad es. con R - vedi):

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R") f = function(x) x/(abs(x-1)-abs(x+1)) graficoF( f, -2,2, "blue" ) # o: graphF(…) # Vedo dove varia, poi scelgo io la scala PIANO(-2,2, -1.5, 0.5) # o: PLANE(…) grafico(f, -2,2, "blue") # o: graph(…) f(0) # In 0 non vedo il "buco", infinitesimo, # NaN # che perņ c'č PUNTO(0,1/2, "red") # o: POINT(…)

Il grafico col software online WolframAlpha:
plot x / (|x-1|-|x+1|), -3 < x < 3, -1.5 < y < 0