Sia: f(x) = (x+1) log |x+1| se x ≠ −1, f(−1) = 0.
Studiare f e tracciarne il grafico.
In particolare determinare esplicitamente dove è definita,
dove è continua, dove è derivabile.
log |x+1| è definito dove |x+1| > 0, ossia per x ≠ −1;
d'altronde abbiamo definito f(−1), quindi f è definita su tutto R.
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Studio
g : x → f(x−1) = x·log |x|,
che ha come grafico quello di f spostato a destra di 1.
Lo studio del comportamento di g può utilizzare proprietà geometriche del suo grafico (analoghe
a quelle studiate nell'esercizio 5.6):
essendo g(x) = h(x)·k(x) con h pari e k dispari, g è dispari
(si pensi a h(x) = x2 e a
k(x) = x: (h·k)(x) = x3 che è dispari).
La cosa è dimostrabile in generale:
(h·k)(−x) = h(−x)·k(−x) =
h(x)·(−k(x)) = −h(x)·k(x).
Ma può essere dimostrata solo nel caso particolare:
−x·log |−x| = −x·log |x|.
I grafici di g e di f tracciati col computer ci fanno subito capire questa simmetria,
rispetto a (0,0) o rispetto a (-1,0): vedi la figura a destra
(g : grafico rosso,
f : grafico marrone pių spesso).
Dalla figura capiamo anche che f è continua. Infatti per
l'unico punto dubbio, −1, abbiamo che il valore 0 che f assume in esso coincide con l'ordinata del punto
a cui tende il grafico avvicinandosi all'asse verticale. Formalizzando:
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lim x → −1 f(x) =
lim x → 0 g(x) = lim x → 0 x·log|x| = 0/∞ = 0
(
limiti).
La derivabilità in punti diversi da −1 di f(x), ovvero diversi da 0 di g(x),
ci sembra garantita dal grafico. Verifichiamo la cosa, considerando g.
Per x > 0 g(x) = x·log(x) è derivabile in
quanto prodotto di funzioni derivabili; per simmetria posso conlcudere che g è derivabile
anche in (-∞, 0). Vediamo che cosa accade in 0.
Per la simmetria (che è rispetto al punto (0,0), non rispetto alla retta verticale x=0)
basta che studiamo la derivabiltà "da destra"; da questa potremmo dedurre quella "da sinistra",
e la derivabilità della funzione in 0: essendo simmetrica rispetto a (0,0),
l'esistenza della derivata da destra ci assicurerebbe l'esistenza della derivata da sinistra, e l'eguaglianza
delle due derivate: vedi il grafico a destra (se un grafico è simmetrico rispetto ad un punto,
la tangente da destra e la tangente da sinistra se esistono devono essere eguali).
Calcoliamo, dunque, la derivata di g per input positivi.
Dx (x·log(x)) = log(x) + 1. Per x → 0+ questo valore tende a −∞,
quindi il grafico di g passa per O verticalmente. Del resto, calcolando direttamente la derivata da
destra, avrei:
lim h → 0+ (h·log(h) − 0)/h =
lim h → 0+ log(h) = −∞.
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A conferma di questo calcolo, disponendo di un computer e di un opportuno
programma (come R, ad esempio) potrei tracciare direttamente il grafico della derivata di g
ed osservare che avvicinandosi a 0 essa tende a −∞.
Dunque g non è derivabile in 0, e f non è derivabile in
−1.
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# I grafici e i calcoli (per capire pių facilmente) sono fattibili con R:
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
f = function(x) (x+1)*log(sqrt((x+1)^2))
# per calcolare le derivate occorre mettere sqrt(a^2) invece di abs(a)
BF=3; HF=3; graphF( f, -5,5, "brown")
# ottengo il grafico riportato sotto. Ora restringo la scala:
graphF( f, -3,2, "brown")
# faccio anche il grafico "rosso"
g = function(x) f(x-1); graph2( g, -3,2, "red")
# In -1 f non č definita; studio il limite ...
f(-1)
# NaN
d=2^-c(30:35); f(-1+d) # f in -1+2^-30,..,-1+2^-35
# -1.936631e-08 -1.000593e-08 -5.164349e-09 -2.662867e-09 -1.371780e-09 -7.060633e-10
d=2^-c(30:35); f(-1-d) # e, da sinistra, in -1-2^-30,..
# 1.936631e-08 1.000593e-08 5.164349e-09 2.662867e-09 1.371780e-09 7.060633e-10
# Capisco (e posso verificare teoricamente) che f tende a 0
graphF( f, -3,2, "brown"); POINT(-1,0, "red")
# Prolungata f in 0, mi pongo il problema della pendenza che ha ivi.
df = function(x) eval(deriv(f,"x")); graph1(df, -3,2, "seagreen")
# dal grafico ho che ivi la tangente al grafico č una retta verticale
