Trova il punto della curva y = x² che abbia distanza minima dal punto (3,0).

	1)  Posso procedere in vari modi.  Ad esempio posso determinare la distanza tra il punto di ascissa x della parabola e (3,0), pari alla radice di (x−3)2+(x²)2.  La sua derivata è 4·x³+2·x−6 che si azzera quando 2·x³+x−3 = 0.  Posso vedere, graficamente (vedi figura a sinistra), che ciò accade quando x = 1.  Ma posso capire altrettanto facilmente in modo diretto che 2·x³+x−3 = 0 quando x = 1.
2)  Ovvero posso osservare che la tangente alla parabola nel punto di ascissa x è la retta, passante per  ( x, x² ), con pendenza d(x²)/dx = 2·x.  La retta passante per tale punto e per (3,0) ha pendenza x²/(3−x).  Le due rette sono perpendicolari se 2·x³/(x−3) = −1, ovvero se 2·x³ = 3−x.  Anche senza tecniche particolari vedo che l'equazione è vera per x = 1.
3)  Ovviamente posso risolvere l'equazione polinomiale 2·x³+x−3 = 0 anche col software. Ad esempio con R (vedi) posso fare: source("http://macosa.dima.unige.it/r.R") q = c(2,0,1,-3); solpol(q) # 1 # Ovvero posso usare il comando per trovare il punto di minima distanza # tra un grafico di funzione e un punto fissato: distPF(3,0, f, 0,2) dist. & nearest point (punto piu' vicino): # 2.236068 1.000000 1.000000 sqrt(1+2^2) # 2.236068

4)  Ovvero posso fare direttamente tutto con lo script online "dist. P-curve" recuperabile qui, avendo preso come "P(t)":

function x(t) { with(Math) {
return  t
}}
function y(t) { with(Math) {
return  t*t
}}