F, G: R→R, F"(x) = –G"(x) = 2 per ogni x. I grafici di F e G sono tracciati a lato. Quanto vale l'area racchiusa tra essi.

L'area non varia traslando. Mi conviene "riposizionare" il problema nel modo illustrato a fianco. F e G sono funzioni polinomiali di 2° grado con coefficiente direttivo, rispettivamente, 1 e –1 (infatti D(D(x2)) = D(2x) = 2). F ha vertice in (0,0), quindi F(x) = x2. G ha per grafico la curva y = –x2 alzata di 2 e spostata a sinistra di 1, quindi G(x) = –(x+1)2+2. F e G si intersecano nei punti che hanno per ascissa le soluzioni di   –(x+1)2+2 = x2 –(x2+2x+1)+2 = x2     2x2+2x-1 = 0 [ x2+x-1/2 = 0     x2+x+1/4-1/4-1/2 = 0 (x+1/2)2 = 3/4     x+1/2 = -√3/2 OR x+1/2 = √3/2]

x = x1 = -1/2-√3/2 = - 1.36… OR x = x2 = -1/2+√3/2 = 0.36… Indichiamo con I l'intervallo [x1,x2]; l'area cercata è l'area che "sta sotto a G" meno quella che "sta sotto a F": ∫IG – ∫IF = ∫I(G–F) = ∫I(–(x+1)2+2–x2)dx = ∫I(–2x2–2x+1)dx = -2/3 x23 - x22+ x2 + 2/3 x13+ x12-x1 = [sostituendo] … [facendo anche manipolazioni simboliche] = √3 = 1.732… [oppure, usando direttamente la calcolatrice] = 1.732…

Vediamo come fare i calcoli con R (e, più avanti, con un semplice script):

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
F = function(x) x^2
G = function(x) -(x+1)^2+2
PLANE(-3,1, 0,4)
graph1(F,-4,2, "brown"); graph1(G,-4,2, "brown")
P = function(x,y) y <= G(x) & y >= F(x)
diseq2(P,0, "brown"); diseq2(P,0, "brown")
more( c(solution2(F,G, -2,0), solution2(F,G, 0,1) ))
# -1.366025403784439  0.366025403784439
h = function(x) G(x)-F(x)
more(integral(h, solution2(F,G, -2,0),solution2(F,G, 0,1) ))
# 1.73205080756888
(integral(h, solution2(F,G, -2,0),solution2(F,G, 0,1) ))^2
# 3
# Il grafico delle funzioni iniziali:
F1 = function(x) F(x-2)-4; G1 = function(x) G(x-2)-4
PLANE(0,4, -4,0)
graph1(F1,-1,5, "brown"); graph1(G1,-1,5, "brown")
P = function(x,y) y <= G1(x) & y >= F1(x)
diseq2(P,0, "brown"); diseq2(P,0, "brown")

Ecco come si poteva precedere facilmente con degli script online recuperabili qui. Utilizzo "equation" per trovare le intersezioni tra le due curve (dove si azzera la differenza tra le due funzioni di cui sono grafico):

function F(x) {
with(Math) {
return  -pow(x+1,2)+2-pow(x,2)
}}

# x del primo punto
a=-1.3660254037844388 b=-1.3660254037844386
 . . .
a=-1.5 b=-1.25
a=-1.5 b=-1
a=-2 b=-1

# x del secondo punto
a=0.36602540378443865 b=0.3660254037844387
 . . .
a=0.25 b=0.5
a=0 b=0.5
a=0 b=1

Assumendo che le due curve si intersechino per x = -1.3660254037844387 e x = 0.36602540378443867, utilizzo "integr." per calcolare l'area avendo preso "F(x)" come sopra:

1.7320508075690468  if a=-1.3660254037844387 b=0.36602540378443867 n=64e5 [1.723066134218243e-13]
1.7320508075688745  if a=-1.3660254037844387 b=0.36602540378443867 n=32e5 [-2.9176661087149114e-13]
1.7320508075691663  if a=-1.3660254037844387 b=0.36602540378443867 n=16e5 [-1.1091128016005314e-12]
1.7320508075702754  if a=-1.3660254037844387 b=0.36602540378443867 n=8e5  [-4.035882739117369e-12]
1.7320508075743113  if a=-1.3660254037844387 b=0.36602540378443867 n=4e5  [-1.6190382368108658e-11]
1.7320508075905017  if a=-1.3660254037844387 b=0.36602540378443867 n=2e5  [-6.498246385433504e-11]
1.7320508076554841  if a=-1.3660254037844387 b=0.36602540378443867 n=1e5  [1.7320508076554841]

Nell'ultima uscita la variazione rispetto alle precedente cambiano andamento (non si divide circa per 4). Approssimo l'integrale con 1.7320508075689.