Sia F(x) = x sin(x) se 0 ≤ x ≤ π/2, F(x) = 2x sin(x) altrimenti. Determinare
Per parti:
∫ x sin(x) dx = ∫ x D(-cos)(x) dx = -x cos(x) - ∫ cos(x) dx =
-x cos(x) - sin(x) + C
∫ 2x sin(x) dx = 2 ∫ x sin(x) dx
Posso verificare la cosa (o congetturare, grosso modo, il valore prima di sviluppare i calcoli) tracciandone il grafico. A destra lo abbiamo fatto con questo script: | ![]() |
Con questo script potrei anche approssimare il valore dell'integranle:
5.28318530747915 if a=0 b=3.141592653589793 n=1e5 [5.28318530747915]
5.283185307182707 if a=0 b=3.141592653589793 n=1e6 [-2.964428702512123e-10]
5.283185307179759 if a=0 b=3.141592653589793 n=1e7 [-2.9478641749847156e-12]
5.283185307180309 if a=0 b=3.141592653589793 n=1e8 [5.497824417943775e-13]
La differenza è prima circa -3*10^-10, -3*10^-12, poi incominci a "sballare".
Mi fermo e apprrossimo a 5.28318530718. Rocordando che 2*π = 6.28
posso supporre, e poi
immediatamente verificare, che l'integrale è
Con WolframAlpha otterrei: integral piecewise[{ {x*sin(x), x <= PI/2}, {x*2*sin(x), PI/2 < x} }], x=0..PI 5.2831853071795864769252... | ![]() |
Posso verificare facilmente la cosa anche con R (vedi):
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R") f1 = function(x) x*sin(x); f2 = function(x) 2*x*sin(x) f = function(x) ifelse(x >=0 & x <= pi/2, f1(x), f2(x) ) integral(f,0,pi) # 5.283185 2*pi-1 # 5.283185 BF=3; HF=2.5; graphF( f, -0.5,3.5, "brown") Z = function(x) 0 Diseq(Z,f, 0,pi, "orange"); graph( f, -0.5,3.5, "brown")![]()
Per altri commenti:
calcolo di integrali
neGli Oggetti Matematici.