Prova a dedurre algebricamente, e verifica graficamente col computer, a quali tipi di trasformazione geometrica viene sottoposta la curva di equazione x² + y² = 1 per ottenere le curve descrivibili algebricamente nei seguenti modi:

(A)  (x−1)² + (y+2)² = 1     (B)  (x+1)² + y² = 5     (C)  (2·x+1)² + (y+2)² = 4

•  La figura di equazione F(x,y) = 0 traslata dei passi H e K ha equazione F(x−H,y−K) = 0 (vedi). Quindi la nostra curva (il cerchio blu) viene trasformata nella curva di equazione (A) dalla traslazione di passi 1 e − 2; essa è dunque il cerchio rosso. •  x² + y² = 5 è il cerchio iniziale dilatato: il raggio da 1 passa ad essere √5, ossia 2.23…;  la curva di equazione (B) è ottenuta con questa trasformazione di scala monometrica (si ottiene, nella figura al centro, il cerchio tratteggiato) e, poi, con una ulteriore traslazione di passi −1 e 0 (cerchio marrone). •  (x+1)² + (y+2)² = 4 è il cerchio iniziale dilatato di fattore 2 e, poi, traslato di passi −1 e −2;  la curva di equazione (C) è ottenuta con la ulteriore trasformazione di scala non monometrica (x,y) → (x/2,y) (curva viola).

Sotto uno dei modi con cui si può ottenere la figura a lato con R (vedi).

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
BF=3; HF=3
PIANO(-4,3, -4,3)
C = function(x,y) x^2+y^2-1; cur(C, "blue")
trasla(C,1,-2, "red")
#
PIANO(-4,3, -4,3)
cur(C, "blue")
# se metto 0 come colore la curva viene solo tratteggiata
moltiplica(C, sqrt(5),sqrt(5), 0)
# la nuova curva trasformata è stata messa in ZZZ
C1=ZZZ; trasla(C1,-1,0, "brown")
#
PIANO(-4,3, -4,3)
cur(C, "blue")
moltiplica(C, 2,2, 0)
C2=ZZZ; trasla(C2,-1,-2, 0)
C3=ZZZ; moltiplica(C3, 1/2,1, "magenta")

I grafici con Desmos:

I grafici con WolframAlpha:
plot {x^2+y^2=1, (x-1)^2+(y+2)^2=1, (x+1)^2+y^2=5, (2x+1)^2+(y+2)^2=4, x*y=0}