Siano i, j e k i versori degli assi. Calcola il volume del parallelepipedo determinato dai vettori i+j, j+k e k+i.

È possibile arrivare alla risposta (che è 2) con ragionamenti spaziali basati sulla disposizione dei tre vettori.  Ma procediamo algebricamente, tenendo conto che il parallelepipedo avente i vettori u, v e w come lati ha volume  w ·(u × v), ovvero  u ·(v × w)  o  v ·(w × u), e che il prodotto vettoriale può essere calcolato mediante il determinante avente i, j e k come prima riga e le componenti dei due vettori moltiplicati come seconda e terza:
(i+j)·((j+k)×(k+i)) = (1,1,0)·(1,1,−1) = 1+1+0 = 2   dato che:
• j+k = (0,1,1);   k+i = (1,0,1);   i+j = (1,1,0)
• (j+k)×(k+i) =

|  i  j  k  |
|  0  1  1  | = (1,1,-1)
|  1  0  1  |

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[per considerazioni più generali puoi vedere qui]