Determinare l'angolo da formato dai vettori u = (1, −2, 2) e v = (−4, 0, 2).

Usando la definizione di "·" che ricorre alle componenti dei vettori ho: u·v = 1(−4)+(−2)0 + 2·2 = 0. Usando quella che usa l'angolo θ formato da essi ho: ||u|| = 3, ||v|| = 2√5, u·v = 6√5 cos(θ). Quindi cos(θ) = 0, ossia i due vettori devono essere tra loro perpendicolari. A lato l'illustrazione dei due vettori.

(clicca l'immagine per ingrandirla)

Con lo script Seq&Vettori posso verificare facilmente la cosa:
a1,a2,a3.   1, -2, 2
b1,b2,b3.   -4, 0, 2
dot → 0

  Per altri commenti: lo spazio tridimensionale neGli Oggetti Matematici.

Il grafico con R:

# metti lo spazio che vuoi rappresentare
x <- c(-5,4); y <- c(-3,3) ; z1 <- c(-1,3)
# copia queste righe e cambia eventualmente la "figura"
scala <- function(t,p,dist) {
  zz <- ifelse(p < 0, z1[2],z1[1])
  z <- array(c(zz,zz,zz,zz),dim=c(2,2))
  F <- persp(x,y,z,theta=t,phi=p,scale=TRUE,xlim=x,ylim=y,zlim=z1,
             d=dist,ticktype="detailed");
  # assi
  lines(trans3d(c(0,0),c(0,0),c(0,z1[2]),pmat=F),col="red");
  lines(trans3d(c(0,x[2]),c(0,0),c(0,0),pmat=F),col="red");
  lines(trans3d(c(0,0),c(0,y[2]),c(0,0),pmat=F),col="red");
  lines(trans3d(c(0,0),c(0,0),c(z1[1],0),pmat=F),col="red",lty=3);
  lines(trans3d(c(x[1],0),c(0,0),c(0,0),pmat=F),col="red",lty=3);
  lines(trans3d(c(0,0),c(y[1],0),c(0,0),pmat=F),col="red",lty=3);
  # figura:
  lines(trans3d(c(1,0,-4),c(-2,0,0),c(2,0,3),pmat=F),col="blue");
}
# scegli il punto di vista
scala(140,25,2)
#
scala(60,25,2)
#
scala(60,60,2)