Dimostrare che in R³ i vettori (1,1,1), (1,1,0), (1,0,0) costituiscono una base.

- Sono linearmente indipendenti (ossia nessuno di essi è esprimibile come combinazione lineare degli altri, ossia h(1,1,1)+k(1,1,0)+q(1,0,0)=0 sse h=k=q=0) infatti:
h(1,1,1)+k(1,1,0)+q(1,0,0)=0 sse h+k+q=0 & h+k=0 & h=0 sse h=0 & k=0 & q=0
Si poteva in alternativa calcolare il determinante della matrice formata dai tre vettori e far vedere che non è 0.
- Generano R³ (ossia ogni (x,y,z) è esprimibile come (x,y,z)=h(1,1,1)+k(1,1,0)+q(1,0,0) [ossia come (h,k,q) rispetto al sistema di riferimento che ha i tre vettori come nuova base]. Ciò segue dal fatto che il determinante di cui sopra non è 0, ovvero dal fatto che i vettori sono 3, tanti quanta la dimensione di R³.
[per considerazioni più generali puoi vedere qui]

Come si potrebbe calcolare il determinante (specie in casi più complicati di questo) con uno script online presente qui.