Gli estremi inferiore e superiore di A = {n / (n + 1) | n

N} sono gli estremi del più piccolo intervallo di R contenente A.
Gli elementi di A sono: 0, 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, … ovvero: 0, 1-1/2, 1-1/3, 1-1/4, 1-1/5, … (infatti n/(n+1) = 1-1/(n+1)).
L'estremo inferiore è 0: è l'unico elemento non positivo, ed è il minimo elemento di A.
Non esiste un massimo elemento di A in quanto 0, 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, … è una successione di elementi ciascuno dei quali è seguito da un elemento maggiore.
Si intuisce che il più piccolo intervallo contenente A è [0, 1), ossia che 1 è l'estremo superiore. Per dimostrarlo dobbiamo far vedere che tra gli elementi di A e 1 non ci possono essere altri numeri.
Prendiamo x < 1; facciamo vedere che troviamo un elemento di A maggiore di esso.
Possiamo procedere in vari modi. Ad es. prendere un numero del tipo 0.999…9 formato da una quantità opportuna di 9 tale da risultare maggiore di x (esiste sicuramente in quanto x < 1 = 0.999…); tale numero appartiene ad A in quanto 0.999…9 = 1-1/1000…0 = (1000…0-1)/1000…0.

 ——+———————————+——————————————+
   x         0.999            1
 0.9963         <—— 1/1000 ——>

Oppure considerare la distanza 1-x tra x e 1 e prendere un numero naturale N > 1/(1-x); basta, ad es., aumentare di 1 il troncamento agli interi di 1/(1-x). 1/N < 1-x e quindi 1-1/N, che appartiene ad A, è maggiore di x.