Il cerchio a alto, rappresentato nel piano complesso, viene trasformato mediante la funzione F: C-{0} → C tale che F(z) = 1/z. Quale, tra le seguenti, è la sua immagine mediante F?     (A) α   (B) β   (C) γ   (D) δ   (E) ε

Si può trovare la risposta corretta in vari modi. Un modo semplice è il seguente:
• se z in forma polare è (ρ, θ), 1/z in forma polare diventa (ρ', θ') tale che:
ρ' = 1/ρ e θ' = -θ;
• la figura originale è descritta da un punto che ruota una volta attorno alla origine; essendo θ' = -θ il trasformato di essa non può fare due giri attorno all'origine; quindi sono da escludere β e δ;
• i punti della figura originale hanno distanza dall'origine che non scende sotto a 1/4; quindi il suo reciproco non può superare 4: è da escludere γ (che dovrebbe provenire da una figura che passa per l'origine o molto vicina ad essa);
• ma vi sono anche punti della figura originale che hanno distanza dall'origine che supera 1 e che facendo il reciproco dovrebbero allontanarsi dall'origine: è da escludere anche ε, che è la immagine simmetrica rispetto all'origine della figura originale;
• non rimane che α
    Ragionamenti più elementari potevano basarsi sulla trasformazione di singoli punti:
• la figura originale ha solo due "punti" reali; mediante il reciproco si deve ottenere una figura trasformata che ha esattamente due punti reali; sono da escludere β e δ;
• i punti reali della figura originale sono, circa, 4/3 e -1/3; i loro trasformati sono, circa, 3/4 e -3; devo scegliere α;
    Ragionamenti più sofisticati potevano basarsi sul fatto che F trasforma ogni cerchio non passante per O in un altro cerchio non passante per O.
  Per altri commenti: I numeri complessi neGli Oggetti Matematici.

# Ecco come è possibile realizzare la trasformazione con R:
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
HF=2.8; BF=2.8
PIANO(-2,2, -2,2)
# il cerchio posso esprimerlo in molti modi. Esempi:
cerchio(1/2,1/2, 1, "blue")               # uno, usando l'apposito comando
G = function(x,y) (x-1/2)^2+(y-1/2)^2-1
curva(G, "brown")                         # due, come eq. in x e y
H = function(z) abs(z-(1+1i)/2)-1
H1 = function(x,y) Re(H(x+y*1i))
curva(H1, "red")                          # tre, a partire |z-C|=r
x=function(t) 1/2+cos(t); y=function(t) 1/2+sin(t)
param(x,y, 0,2*pi, "magenta")             # quattro, coms x(t),y(t)
#
# Per realizzare la trasformazione usiamo la rappresentazione come
# x(t),y(t), ossia in forma parametrica:
x=function(t) 1/2+cos(t); y=function(t) 1/2+sin(t)
PIANO(-3,1.5, -1.5,3)
param(x,y, 0,2*pi, "blue")
# 1/z = 1/(x+iy) = (x-iy)/(x^2+y^2) = x/(x^2+y^2) - iy/(x^2+y^2)
x1 = function(t) x(t)/(x(t)^2+y(t)^2); y1 = function(t) -y(t)/(x(t)^2+y(t)^2)
param(x1,y1, 0,2*pi, "brown")
#
# Volendo vedere le associazioni tra una curva e l'altra posso fare
PIANO(-3,1.5, -1.5,3)
para(x,y, 0,pi/2, "blue"); para(x1,y1, 0,pi/2, "blue")
para(x,y, pi/2,pi, "seagreen"); para(x1,y1, pi/2,pi, "seagreen")
para(x,y, pi,pi/2*3, "red"); para(x1,y1, pi,pi/2*3, "red")
para(x,y, pi/2*3,2*pi, "magenta"); para(x1,y1, pi/2*3,2*pi, "magenta")
for(i in 0:3) {t=pi/2*i; c=i+1; PUNTO(x(t),y(t), c); PUNTO(x1(t),y1(t), c)}

Controllo della soluzione col software online WolframAlpha:

1/(x+iy)    ->    x/(x^2+y^2) - (i y)/(x^2+y^2)   ->    ( x/(x^2+y^2), -y/(x^2+y^2) )
parametric plot (1/2+cos(t),1/2+sin(t)), parametric plot ((1/2+cos(t))/((1/2+cos(t))^2+(1/2+sin(t))^2), -(1/2+sin(t))/((1/2+cos(t))^2+(1/2+sin(t))^2))