Costruisci (con opportuno software) un file di dati (qualche migliaia) che abbia un istogramma di distribuzione simile a quello a lato e calcolane sperimentalmente media, mediana, 1º e 3º quartile. Confronta questi valori con quelli "teorici".

Procediamo con degli script online. Poi vedermo come procedere con R.

Con lo script rndrnd a cui si accede da qui otteniamo un esito simile al seguente:

Le uscite cadono nell'intervallo [0,2]. Se le raddoppio, ovvero se considerassi U1 e U2 distribuite uniformemente in [0,2), otterrei un istogramma simile, approssimabile con un triangolo isoscele.

Se mettiamo gli output numerici nello script boxplot otteniamo un esito simile al seguente:

La media e la mediana tendono ad essere uguali entrambe ad 1 (o 2), 1º e 3º quartile a circa 0.71 (o 1.42) e 1.3 (o 2.6).

Considerando la figura del testo dell'esercizio, determiniamo i valori teorici.
Media e mediana, per simmetria, valgono entrambe 2.
Il 1º quartile è pari alla base B del triangolo con altezza B*0.5/2 avente area 1/4. B²*0.5/4=1/4.  B = √2 = 1.41421….
Il 3º quartile, per simmetria, è 4−√2 = 2.58578…
I valori sono in accordo con quelli sperimentali.

Vediamo come procedere con R.

n <- 1e5; U1 <- runif(n)*2; U2 <- runif(n)*2
# ovvero:
# U1 <- runif(n,min=0,max=2); U2 <- runif(n,min=0,max=2)
hist(U1+U2, probability=TRUE, col='yellow',nclass=40)
abline(h=axTicks(2),lty=2)
lines(c(0,2,4),c(0,1/2,0),lwd=2)
summary(U1+U2)
#    Min.  1st Qu.   Median     Mean  3rd Qu.     Max. 
# 0.009054 1.416000 1.999000 2.000000 2.588000 3.991000 
lines(c(0,2,4),c(0,1/2,0),lwd=2,col="red")

# Ovvero (se conosci gli integrali):
n = 1e6; U1 = runif(n,0,2); U2 = runif(n,0,2)
Plane(0,4, 0,1/2)
hist(U1+U2, probability=TRUE, col="grey90", add=TRUE, nclass=40)
f = function(x) -abs(x-2)/4+1/2
graph1(f, 0,4, "blue"); abovex("2*runif+2*runif")
statistics(U1+U2)
#     Min.  1st Qu.   Median     Mean  3rd Qu.     Max. 
# 0.004323 1.413000 2.001000 2.000000 2.587000 3.998000 
#     The brown dots are 5^ and 95^ percentiles 
#            The red dot is the mean 
                                     
integral(f, 0,4)
# 1
g = function(x) f(x)*x; integral(g, 0,4)
# 2                                                  la media
h = function(x) f(x)*(x-2)^2; sqrt(integral(h,0,4))
# 0.8164966                                            lo sqm
integral(f,0,sqrt(2)); integral(f,0,4-sqrt(2))
#   0.25   0.75         sqrt(2) e 4-sqrt(2): 1^ e 3^ quartile
sqrt(2); 4-sqrt(2)
# 1.414214  2.585786