Determina Pr(3 ≤ X ≤ 9) dove X è una variabile aleatoria chi-quadro con 6 gradi di libertà.

Posso usare una tabella, come quella riportata in questo script:

d.f.     5       10      25      50      75      90      95 
6       1.64    2.20    3.45    5.35    7.84    10.6    12.6

Facciamo una stima rapida. Pr(x < 9) è tra 75 e 90, circa 80. Pr(x < 3) è circa 20. La differenza è circa 60.  Posso assumere che la probabilità cercata è circa 60%.

Questa stima è più che sufficiente per ogni eventuale scopo pratico. Volendo controllare la stima posso approssimare linearmente i valori (e usare la calcolatrice):

(x - 90) / (75 - 90) = (9 - 10.6) / (7.84 - 10.6)
x - 90 = (9 - 10.6) / (7.84 - 10.6) * (75 - 90)
x = (9 -1 0.6) / (7.84 - 10.6) * (75 - 90) + 90
81.30434782608695
(x - 25) / (10 - 25) = (3 - 3.45) / (2.20 - 3.45)
x - 25 = (3 - 3.45) / (2.20 - 3.45) * (10 - 25)
x = (3 - 3.45) / (2.20 - 3.45) * (10 - 25) + 25
19.6
81.30434782608695-19.6 = 61.70434782608695 ≈ 62

Usando del software opportuno possiamo ottenere una valutazione più precisa. Ad esempio con R (vedi) posso o procedere per tentativi e ottenere:
qchisq(0.83, df=6)
# 9.064192
qchisq(0.82, df=6)
# 8.887578
qchisq(0.825, df=6)
# 8.974805
qchisq(0.19, df=6)
# 2.990805
qchisq(0.195, df=6)
# 3.030572
prendendo 0.83-0.19 = 0.64 = 64% come approssimazione del valore cercato,
o calcolare direttamente:
pchisq(9, 6) - pchisq(3, 6)
# 0 . 6352688
che posso arrotondare a 63.53%.

Per altri commenti: Test χ² neGli Oggetti Matematici.