Approssima  sin(x²) − sin(x)²  attorno a x = 0 con un polinomio di grado maggiore di 3. Controlla la risposta con WolframAlpha..

Da  sin(x) = x + O(x^3) ho  sin(x^2) = x^2 + O(x^6)
Ho anche sin(x)^2 = x^2 + O(x^6) + 2x·O(x^3) = x^2 + O(x^4)  [in quanto  O(x^3)·x = O(x^4) e O(x^6)+O(x^4) = O(x^4) per x → 0]
Questa seconda approssimazione non mi basta: otterrei  sin(x^2)-sin(x)^2 = O(x^4)  senza riuscire a individuare il coeff. del termine di grado 4.
Uso  sin(x) = x - x^3/6 + O(x^5).
Elevo al quadrato inglobando in O(x^5) i termini di grado maggiore a 4:
sin(x)^2 = x^2 - 2x·x^3/6 + O(x^5) = x^2 -x^4/3 + O(x^5).
sin(x^2)-sin(x)^2 = x^2 + O(x^6) - x^2 + x^4/3 - O(x^5) = x^4/3 + O(x^5)  (nota: x^4/3 non sta per x^(4/3) ma per (x^4)/3).
Si può dedurre che x⁴/3 è il polinomio di Taylor di ordine 4 di sin(x²) − sin(x)²; infatti non ci possono essere altri polinomi di grado 4 per cui ciò accada  (da  p(x) = f(x) + O(x^5)  e  q(x) = f(x) + O(x^5)  segue  p(x)-q(x) = O(x^5); l'unico polinomio p(x)-q(x) di di grado al più 4 per cui ciò accada è 0; dunque deve essere p(x) = q(x)).

Con WolframAlpha  batto  taylor polynomial of sin(x^2)-sin(x)^2  ottengo  x^4/3 - (19 x^6)/90 + x^8/315 + O(x^10).

Per riferimenti, vedi qui. Per ulteriori approfondimenti vedi qui.