Potenze (1)
Per
esprimere numeri molto grandi o molto piccoli è comodo
ricorrere alle potenze. Se a è un numero qualunque,
positivo o negativo, e n è un numero intero non
negativo, si pone:
an | è 1 moltiplicato ripetutamente n volte per a | ![]() | |
a0 | è 1 | ||
an | è 1 diviso ripetutamente n volte per a |
Ad esempio:
1000000, cioè 1 con l'aggiunta di 6 zero, cioè 1 spostato 6 posti a sinistra, cioè 1 moltiplicato 6 volte per 10, può essere scritto 10 6; 1, cioè il numero 1 senza spostamenti, può essere scritto 10 0; 0.00001, cioè 1 spostato 5 posti a destra, cioè 1 diviso 5 volte per 10, può essere scritto 10-5. |
Valgono
le formule seguenti [dove n,
m sono numeri interi], che sono facili da (ricavare e) ricordare pensando alla
figura iniziale (moltiplicare/dividere per a vuol dire aumentare/diminuire l'esponente di 1):
m
-n 1 m n m+n a m-n
a = a ·a = a = a
n n
a a
Ad
esempio per calcolare 107/10-5
posso fare: 107/10 5
= 107 ( 5) = 107+5
= 1012. [ esempio ]
Dati
due numeri x e y (con y intero), la funzione che
ad essi associa il numero x y
viene chiamata operazione di elevamento a potenza. Il
risultato xy si legge «x
alla y» o «potenza y-esima di x».
Nota1.
x y è definito anche per
x = 0 e y > 0: 0 y = (1 moltiplicato y volte per 0) = 0. Invece per x = 0 e
y ≤ 0 x y è
indefinito: infatti, se volessi usare le formule sopra riportate, dovrei avere, ad es. 0-2 = 1/02 = 1/0.
Del resto di fronte a 0
2
una calcolatrice visualizza un messaggio d'errore, come farebbe nel
caso di 1
0
.
Nota2.
L'operazione di elevamento a potenza è definita anche per
esponenti non interi. Infatti una calcolatrice di fronte a 4
7.5
non segnala errori. Vedremo in seguito [
Potenze (2), Strutture numeriche]
il significato di xy per y
non intero.
Nota3.
Si può rappresentare l'elevamento a potenza anche senza ricorrere una scrittura "a due piani" (uno per la base e uno per l'esponente):
si può infatti usare il simbolo di operazione "^".
Ad esempio 27 verrebbe scritto come 2^7 ("^" rappresenta una "freccia in su"). Questa è la scrittura impiegata in molte applicazioni per il calcolatore
(linguaggi di programmazione, fogli di calcolo,
).
Esercizi: testo e soluzione, testo e soluzione, testo e soluzione