Funzioni trigonometriche e funzioni periodiche - Sintesi

    Tra gli oggetti matematici che abbiamo trattato in questo corso, le funzioni hanno un ruolo di particolare importanza. Una funzione, per dirla molto in breve, è un modo per associare ad un input appartenente ad un insieme I (consistente in una qualche collezione di oggetti matematici)  o  un unico output appartenente ad un insieme O (che, a sua volta, è una qualche collezione di oggetti matematici)  o  nessun output.  L'insieme degli input a cui la funzione associa un output viene chiamato dominio della funzione.

    Facciamo tre esempi.  f: x → x²  (per cui ad es. f(-2) = 4),  g: (x,y) → x/y  (ad es. g(3,4) = 0.75),  Plot che a (F, a,b) associa il grafico di F tra a e b.

    f e g sono funzioni ad input ed output numerici.  La terza è una funzione che ha 3 input:  una funzione numerica F, un numero a che rappresenta il primo estremo di un intervallo, un altro numero b che rappresenta il secondo estremo di quell'intervallo; l'output è un oggetto matematico particolare: un grafico, per l'esattezza il grafico di F sull'intervallo che ha per estremi a e b.  Nella figura sottostante a destra F è l'elevamento al quadrato (cioè f), a = -1, b = 2.

    Abbiamo poi concentrato l'attenzione sulle funzioni da R in R, cioè le funzioni che, come la f dell'esempio precedente, hanno come input un numero reale e come output un numero reale. In due precedenti schede di ripasso abbiamo preso in considerazione, tra l'altro, le funzioni polinomiali e quelle esponenziali. In questa scheda rivediamo, rapidamente, le funzioni trigonometriche. Le funzioni trigonometriche di uso più frequente sono le funzioni seno, coseno, tangente.

    Le funzioni trigonometriche hanno una particolarità: sono periodiche. Ciò dipende dal fatto che il loro input è un numero reale che descrive una direzione, e le direzioni si ripetono. Se a partire da 0 percorriamo la retta nell'una o nell'altra direzione, incontriamo sempre nuovi punti, sempre più distanti da 0. Abbiamo chiamato cerchio goniometrico il cerchio di raggio 1 centrato nell'origine: se lo percorriamo nell'una o nell'altra direzione, ripassiamo periodicamente per gli stessi punti. La prossima figura mostra, a sinistra, come si trova la direzione di un vettore: si riporta, applicato nell'origine, il versore, cioè il vettore di modulo 1, che ha la stessa direzione. La direzione α del versore OP è la lunghezza dell'arco AP. A destra vediamo il confronto tra le direzioni "matematiche" indicate sul cerchio goniometrico, e quelle "tradizionali" riportate sul goniometro.

    Il grado è la 180ª parte di π: 1º = π/180. Quindi, per esempio: 30º = 30·π/180 = π/6.
    Una qualunque direzione x e la direzione x+2π coincidono (non come numeri, ma come direzioni). Quindi, ad esempio, sin(7) e sin(7+2π), sin(7+6π) e sin(7−2π) coincidono.

Abbiamo visto anche esempi di altre funzioni periodiche. Ad es. a sinistra è tracciata parte del grafico della funzione che ad un numero associa la sua parte frazionaria o, meglio, il numero meno il massimo intero minore o eguale ad esso.

    Poiché la funzione sin è periodica, anche la sua pendenza ha andamento periodico: se in x il grafico di sin ha una certa pendenza, la stessa pendenza deve avere in x+2π.  Osserviamo inoltre (vedi figura seguente) che in 0 il grafico di sin ha pendenza 1, in π/2 ha pendenza 0, in π ha pendenza −1, ossia in tali punti ha gli stessi valori che assume la funzione cos.

    Si percepisce immediatamente che il grafico rosso non è altro che il grafico della funzione cos.  Si può effettivamente dimostrare che  D(sin) = cos.  Possiamo studiare la cosa anche con lo script  deriv_sin,  che traccia in blu il grafico di sin e in rosso il grafico della sua derivata  (sull'asse x sono segnati i radianti, non i gradi).

    Analogamente, lo script  deriv_cos  illustra che  D(cos) = −sin.

    Come mai le funzioni circolari, ovvero le funzioni che associano a un numero α l'ascissa o l'ordinata del punto che si intercetta sul cerchio goniometrico procedendo da (0,0) in direzione α, si chiamano "funzioni trigonometriche?
    La ragione è che le funzioni circolari possono essere utili per affrontare lo studio di alcune proprietà dei triangoli.
    Vi sono alcune formule che possono talvolta rivelarsi utili. Ricordiamo solo le formule di addizione (da cui si possono dedurrre le altre formule) che si dimostrano facendo riferimento alla prossima immagine:

Voglio trovare cos(α+β).    Rappresento, sul cerchio goniometrico, l'angolo α e, subito dopo, l'angolo β, come nella figura. Traccio il triangolo rettangolo colorato in giallo (basta che tracci la perpendicolare al primo lato di β dal punto in cui il secondo lato di β incontra il cerchio). I suoi cateti sono lunghi cos(β) e sin(β).    Traccio il triangolo rettangolo colorato in verde, che ha l'angolo in basso eguale ad α. Il cateto opposto ad α è pari alla lunghezza della sua ipotenusa moltiplicata per sin(α): sin(α)·sin(β).    Analogamente il cateto orizzontale del triangolo rettangolo celeste è lungo cos(α)·cos(β).    Dunque  cos(α+β) = cos(α)·cos(β) − sin(α)·sin(β).    Analogamente  sin(α+β) = sin(α)·cos(β) + cos(α)·sin(β).

    Le funzioni seno e coseno permettono di approssimare, opportunamente sommate, qualsiasi funzione periodica. Ecco il grafico di  x → sin(x)·4/π (verde), di  x → (sin(x)+sin(3x)/3)·4/π (blu), e di  x → (sin(x)+sin(3x)/3+…+sin((2n+1)x/(2n+1))·4/π  per n uguale a 2 (rosso) e a 80 (nero).

    In questo caso stiamo approssimando un'onda quadra, che è una funzione periodica molto importante nelle applicazioni di tipo elettronico: nel caso considerato abbiamo che, al crescere di n, le curve tendono a stabilizzarsi (come si può già vedere molto bene per n = 80) su una figura a gradini di altezza 1 e −1 che si ripetono con periodo 2π.