1. Rappresentazioni dei numeri
2. Rappresentazioni proporzionali, istogrammi
3. Rappresentazioni percentuali, approssimazioni
4. Diagrammi a settori circolari, altri diagrammi
5. I valori medi
6. Cifre significative
7. Esercizi
SintesiLe statistiche
Alcuni modelli per la rappresentazione dei dati
Scheda 1
I consumi e i redditi
0. Le statistiche
1. Rappresentazioni dei numeri
2. Rappresentazioni proporzionali, istogrammi
3. Rappresentazioni percentuali, approssimazioni
4. Diagrammi a settori circolari, altri diagrammi
5. I valori medi
6. Cifre significative
7. Esercizi
Sintesi
0. Le statistiche
«Chi è il capocannoniere del campionato?»,
«Settembre 2008: record di precipitazioni», «Sono
aumentati gli incidenti stradali», «Qual è la
percentuale di italiani che evade le tasse?», «La
popolazione italiana invecchia», «Al giovedì il
programma serale più seguito dagli italiani è …»,
«Il Partito … ha guadagnato un punto percentuale
rispetto alle precedenti elezioni», «Campionato di rugby:
la capoclassifica sta tenendo una media di 39.2 punti per partita»
… : ogni giorno sui giornali, alla televisione, nelle
discussioni con gli amici, … ci troviamo di fronte a
statistiche, cioè alla valutazione dei fenomeni
più disparati mediante numeri o rappresentazioni grafiche che
ne indicano la frequenza o le dimensioni o l'incidenza o le
variazioni nel tempo o …
Si tratta dell'uso della matematica socialmente più diffuso
dopo la misura del tempo (lettura dell'orologio, calcolo del tempo
trascorso, …) e il calcolo economico (calcolo del costo di un
prodotto a partire dal costo unitario, calcolo del resto, …).
E si tratta dell'uso che presso la maggioranza delle persone
caratterizza il ruolo della matematica: «le cifre
non mentono», «i dati parlano da soli»
sono dei luoghi comuni assai diffusi che rivelano l'idea che le
rappresentazioni matematiche dei fenomeni diano luogo a valutazioni
rigorose. Questo pregiudizio è spesso sfruttato da chi
vuole convincere gli altri della bontà delle proprie scelte o
della convenienza del prodotto che vende o del fatto che le cose in
un certo campo vanno bene o vanno male: si "sparano" un po’
di percentuali e di grafici, come a dire «le cose stanno così:
lo dice la matematica».
«2+2 fa 4» è un fatto matematico che non può
essere messo in discussione. Ma, anche se si fanno esattamente i
calcoli numerici, non è detto che si siano presi i dati più
significativi o che si sia scelto il modello matematico più
adeguato per rappresentare il fenomeno da analizzare. I dati
statistici vanno letti e interpretati per quello che sono,
senza trarre conclusioni errate e cercando di valutare criticamente
quelle che gli altri ci propongono.
In questa unità didattica verranno presentati e discussi alcuni dei modelli matematici più utilizzati nelle statistiche diffuse dai mezzi di informazione. Prenderemo in considerazione esempi riferiti a campi diversi, scelti tra quelli di interesse più generale: l'economia delle famiglie (consumi e redditi), lo sport (i record), le caratteristiche fisiche della popolazione (dimensioni e sviluppo del corpo), la scuola (promossi, bocciati, abbandoni, …).
In questa prima scheda vedremo l'impiego di alcuni
strumenti matematici per elaborare statistiche sui consumi e
sul reddito in Italia, con particolare riferimento alle
condizioni di vita nel corso del Novecento.
I dati impiegati sono in gran parte tratti dalle pubblicazioni dell'Istat
(Istituto nazionale di statistica), che raccoglie ed elabora
informazioni relative a numerosi aspetti sociali ed economici
dell'Italia.
1. Rappresentazioni
dei numeri
Nella tabella (1.1) è riportato quanto si è speso in beni di consumo (alimenti, vestiti, automobili, …) e in servizi (taglio dei capelli, viaggi in treno, …) in Italia. I dati si riferiscono ai consumi "finali" (ad esempio viene conteggiato quanto paga per una bibita chi va al bar ma non quanto la bibita è stata pagata dal proprietario del bar). Inoltre sono state escluse le spese fatte da enti "pubblici" (ad esempio i soldi spesi dai Comuni per le divise dei vigili). Per questi motivi i dati riportati nella tabella vengono chiamati consumi finali interni privati. Nel seguito spesso li chiameremo più semplicemente consumi.
| (1.1) |
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Scrivi in lettere i consumi totali del 2010. |
| Scrivi in cifre, esprimendoti in lire invece che in milioni di lire, i consumi totali del 1926. |
I dati scritti per esteso sono molto grandi. Per descriverne le dimensioni si usa il termine ordine di grandezza: nel caso di 386256 milioni, ovvero 386256000000, si dice che ha ordine di grandezza delle centinaia di miliardi, infatti il "3" sottolineato indica che l'ammontare è composto da 3 volte 100000 milioni, ovvero 3 volte 100 miliardi (e poi da 8 volte 10000 milioni, 6 volte 1000 milioni, …).
386 256 000 000 | | | | |_ unità | | | |_____ migliaia | | |_________ milioni (migliaia di migliaia) | |_____________ miliardi (migliaia di milioni) |_______________ centinaia di miliardi |
| Qual è l'ordine di grandezza di
|
Nota 1. Per
rendere più "leggibile" il numero 6849000000
spesso, come abbiamo fatto nel quesito, si scrive
A volte si usa anche la scrittura: 6˙849˙000˙000.
Sono usate anche:
• 6.849.000.000 (ma ciò si può fare solo se per separare parte intera e parte frazionaria di un numero si usa "," invece di "." : 1333 e 5 decimi → 1.333,5);
• 6,849,000,000 (ma ciò si può fare solo se per separare parte intera e parte frazionaria di un numero si usa "." invece di "," : 1333 e 5 decimi → 1,333.5).
Nota 2. A volte, considerando ad esempio il numero 857, non si dice che ha ordine di grandezza delle centinaia ma che ha ordine di grandezza del migliaio perché 857 è "vicino" a 1000. Analogamente del numero 9306 miliardi si può dire sia che ha ordine di grandezza delle migliaia di miliardi, sia che ha ordine di grandezza della decina di migliaia di miliardi (è vicino a 10000 miliardi).
| Una persona ha sostenuto le seguenti spese (in
euro): 28.50, 1.25, 160.30, 0.50, 4.65. Per calcolare il totale batte
sulla sua calcolatrice tascabile (o, in breve, CT): 2850  125 16030 50 465  Ottiene 19520. Quant'è la spesa totale? Perché la persona ha proceduto in questo modo, invece di battere: 28.50 1.25 160.30 0.50 4.65 ?
|
| Completa quanto segue: | ||
54300000 = 54.3 milioni 1.1 milioni = 1100000 1 100 000 000 = miliardi 436.2 miliardi = 1250 = migliaia 21.2 migliaia = |
Se su una calcolatrice eseguo il calcolo di 12345678×12345678×12345678 sul visore compare (invece del risultato esatto 1881675960266558605752) 1.88167596 21 o 1.88167596E21 o 1.88167596e+21 o qualcosa di simile, per indicare il prodotto tra 1.88167596 e la potenza di 10 con esponente 21, ossia 1.88167596×10²¹.
Anche chi usa la CT può usare scritte analoghe per battere
numeri che altrimenti non starebbero sul visore. Infatti in queste CT
è presente un tasto
(a
volte indicato con EXP o con EE o IE). Ad esempio per calcolare 37
miliardi : 128 si può battere:
|
Osservate il riquadro a fianco: Esso ricorda che cosa si intende per posto di una cifra. |
|
Ad esempio: 7 (cifra delle migliaia o di posto 3) indica quante volte deve essere preso 1000, cioè la potenza 103; 8 (cifra dei millesimi o di posto –3) indica quante volte deve essere preso 0.001, cioè la potenza 10–3.
|
In altre parole una cifra ha posto n se è spostata
di n posizioni (in avanti se n>0, indietro se
n<0) rispetto a quella di posto 0, cioè
rispetto alla cifra delle unità. Infatti in una potenza di 10 l'esponente indica la posizione in cui va scritta la cifra "1": 102 per esteso diventa 100 (2 posizioni dopo il posto 0), 10–2 diventa 0.01 (2 posizioni prima del posto 0). Avanzare di 1 posto equivale a moltiplicare per 10, avanzare di 2 posti (cioè moltiplicare due volte per 10) equivale a moltiplicare per 100, … Analogamente retrocedere di 1 posto equivale a dividere per 10, retrocedere di 2 posti (cioè dividere due volte per 10) equivale a dividere per 100, … Quindi, come 10n (dove n può essere 1, 2, 3, 4, …, cioè un qualunque numero intero positivo) non è altro che il risultato della ripetizione della moltiplicazione per 10, così 10–n non è altro che il risultato della ripetizione della divisione per 10: |  |
|
|
Oltre a quanto visto per le potenze di 10, abbiamo che:
23 sta per 2·2·2 74 sta per 7·7·7·7 x2 sta per x·x
Più in generale la scrittura an (n numero intero positivo) sta per a·a·a·…·a dove a compare n volte (a1 sta per a, a2 sta per a·a, a3 sta per a·a·a, …).
Il risultato del calcolo di an viene chiamato potenza n-esima ("ennesima") di a. L'operazione con cui a partire da a e n si ottiene an viene detta elevamento di a alla potenza n-esima. a e n vengono chiamati rispettivamente base ed esponente dell'elevamento.
| Completa, se possibile, quanto segue (prima osserva i due esempi): | |||||||||||||||||
| 25 = 5… ? faccio: |
| deduco che 25=52 | ||||||||||||||||
| 186 = 6… ? faccio: |
| deduco che non esiste n tale che 186=6n | ||||||||||||||||
| 16 = 4… 10 = 5… 81 = 9… 5 = 5… 16 = 2… 81 = 3… 27 = 9… | ||||||||||||||||||
Se a è diverso da 0 si possono considerare anche le
potenze di a con esponente non positivo. Ad esempio 2–3
sta per 1/2/2/2.
Riassumendo:
| an con n > 0 | è 1 moltiplicato ripetutamente n volte per a |  |
| an con n = 0 | è 1 | |
| a–n con n < 0 | è 1 diviso ripetutamente n volte per a |
| Generalizzando quanto visto per il numero 10, osserviamo che dividere ripetutamente n volte per un numero a equivale a dividere per an; quindi: | (1.2) |
|
| (A) Osserva: | ||||||||||||||||
| 0.111… = 3… ? |
| quindi: 0.111… = 1/3/3 = 3–2 = 1/32 | |||||||||||||||
| Completa: | |||||||||||||||||
| 0.125 = 2… ? |
| ||||||||||||||||
| (B) Poiché 8=23, 1/8 equivale a 1/2/2/2. Spiega come calcoleresti mentalmente 68/8 sfruttando questa idea. | |||||||||||||||||
 |
| Utilizzando quanto suggerito dall'esempio a fianco completa i seguenti calcoli: | |
106 · 107 = … 10–3 · 109 = … 10–2 · 102 = … |
| Utilizzando quanto suggerito dall'esempio a fianco completa: |  | |
106 / 104 = … 106 · 10–4 = … 10 · 10–5 = … 102 · 10–2 = … 10–2 · 10–5 = … |
| Un grano di polline ha lo spessore
di circa 10–5 m (0.00001 m, cioè 0.01 mm, pari a un centesimo
di millimetro). Il diametro della Terra è di circa 107 m (cioè 10000 km, infatti 10000 = 104, 1 km = 103 m e 104·103 = 104+3 = 107). Quanti grani di polline occorrerebbe sovrapporre per ottenere una pila spessa come la Terra, cioè quante volte 10–5 m sta in 107 m? (esprimi il risultato sia come potenza di dieci che a parole) |
| Per rappresentare 1020 su una CT si può battere 1 20 (che sta per 1·1020). Per rappresentare 10–5 occorre invece battere 5  . |
Quanto visto nei quesiti 8 e 9 può essere riassunto
nell'unica formula seguente (dove m e n
rappresentano numeri interi qualunque, positivi o negativi o nulli):
10m · 10n = 10m + n
Infatti ad esempio 106 · 10–4 = 106–4 può essere riscritta come 106 · 10–4 = 106 + (–4).
Anche 106/104 può essere trasformato in 106·10–4 e calcolato usando questa formula. Tuttavia può essere comodo ricorrere direttamente alla formula:
| 10m | = 10 m – n |
| —— | |
| 10n |
Ricordiamo che, più in generale, se a è un qualunque numero positivo o negativo e m e n sono numeri interi (positivi o negativi o nulli), valgono le formule:
| (1.3) | am · an = am + n | (1.4) |
|
| Se sostituisci a m il numero 0 e poi esegui i calcoli che si possono fare, come si trasforma la formula (1.4)? |
La scrittura di un numero nella forma h·10n
(37·109, 43.5·1023,…) viene detta notazione
esponenziale.
Le CT esprimono i risultati che non stanno per esteso sul visore in
una particolare forma esponenziale, detta notazione
scientifica, di cui abbiamo già visto un esempio: il numero
|
ha ordine di grandezza delle migliaia; la prima cifra ha posto 3; | ||
| la sua rappresentazione in notazione scientifica è: |
|
||
|
la prima cifra diversa da 0 ha posto -6; | ||
| la sua rappresentazione in notazione scientifica è: |
|
In generale si tratta della notazione esponenziale h·10n che si ottiene prendendo come n il posto della prima cifra diversa da zero del numero.
h (che negli esempi precedenti è 4.161, 7.4125, 1.305) ha sempre una sola cifra (diversa da 0) a sinistra del punto decimale.
Invece di dire che 0.073 (= 7.3·10-2) ha ordine di grandezza dei centesimi, si può dire più in breve che ha ordine di grandezza –2. Cioè si può definire come ordine di grandezza di un numero l'esponente n della sua scrittura in notazione scientifica.
 | Sui computer e su alcuni telefoni cellulari esitono calcolatrici che operano in modo un po' diverso. Incominciamo ad usare questa piccola CT semplicissima, raffigurata a lato. Con essa posso introdurre direttamente una o più operazioni: per eseguire 3/4 posso cliccare 3 [+] 4 [=] o, più semplicemente, battere 3+4 e cliccare [=]. I numeri "lunghi" se possibile vengono espressi in notazioni estesa. I numeri in notazione esponenziale, come 38·10³, posso introdurli direttamente (38e3). Per calcolare il reciproco di 0.25 basta che batta 1/0.25 [=]. |
| Ovvero posso usare questa grande CT, più simile ad un'usuale calcolatrice (a fianco ne puoi osservare una visione semplificata). Prova ad esaminarne l'help o gli esempi a cui si accede da esse (senza pretendere di capirne subito il significato). Prova quindi a calcolare il reciproco di 0.25 usando il minor numero possibile di tasti. |  |
2. Rappresentazioni proporzionali, istogrammi
Torniamo alla tabella (1.1). Il confronto diretto tra dati
relativi ad anni diversi non è facile: non è
possibile paragonare il valore di 1 lira nel 1926 con quello di 1
euro nel 2010. Anche il potere
di acquisto di 1 € ora è minore di quello che aveva nel 2010, o nel 2002,
quando è entrato in vigore.
Non ha quindi senso confrontare direttamente le differenze di una singola voce di consumo da un anno all'altro, possiamo studiare come è cambiato il modo di spendere i soldi esaminando come sono mutati i rapporti tra una voce di spesa e l'altra.
Alcuni cambiamenti balzano all'occhio osservando la tabella. Ad esempio nel 1926 si spendeva circa la stessa cifra in tabacco e in trasporti, nel 2010 si spendeva molto più in trasporti. Altri confronti sono meno evidenti. Vedremo ora dei metodi di rappresentazione dei dati che ci faciliteranno questo studio.
L'istogramma a destra rappresenta i consumi alimentari (144291·106 €) e non alimentari
(806211·106 €) nel 2010. La figura puoi ottenerala con questo script:
copi la riga seguente e la metti nel box in modo da evitare di battere i dati, quindi copi
via via nelle rispettive caselle le voci e i numeri; batti ogni volta [Aggiungi]) e infine
[Calcola]:  | figura 2  |
Il confronto tra le altezze dei due rettangoli ci dà subito un'idea visiva del rapporto tra i due consumi. Infatti il rapporto tra le altezze dei rettangoli è uguale al rapporto tra i dati che esse rappresentano.
Per comprendere meglio questo fatto facciamo riferimento alla figura 3, in cui sono raffigurate due diverse piantine su carta millimetrata della cucina di un appartamento. Le basi dei vari mobili sono state raffigurate tracciando lati con lunghezza pari alla lunghezza reale degli spigoli moltiplicata per la scala, cioè per il fattore di riduzione (vengono moltiplicate per 1/100, cioè divise per 100, in un caso, vengono moltiplicate per 1/200, cioè divise per 200, nell'altro).
Poiché tutte le distanze vengono moltiplicate per lo stesso fattore, i mobili non vengono rappresentati sproporzionatamente: sia in una piantina che nell'altra le basi dei mobili mantengono la forma che hanno nella realtà.
| figura 3 (clicca per ingrandire) |
 |
| Sotto è raffigurata in dimensioni reali (disegno A, con tratteggio fitto) la chiave di un piccolo armadietto. B e C sono due sue riproduzioni in scala: un ingrandimento e un rimpicciolimento. | |
| (1) Qual è la
scala di B, cioè per quale numero sono state moltiplicate le
dimensioni reali per ottenere B? (2) Qual è la scala di C? (3) Disegna una riproduzione di A in scala 4. (4) Il disegno D ti sembra una riproduzione proporzionata di A? Perché? Con quali misure e calcoli puoi confermare questa tua impressione? |
| figura 4 |  |
La chiave riprodotta in D appare più tozza rispetto a quella raffigurata in A: per essere proporzionata come A dovrebbe essere più lunga. Per tradurre questa impressione in termini quantitativi possiamo calcolare il rapporto tra lunghezza della chiave e altezza dell'impugnatura: nel caso A (vedi figura seguente) è 2.5, cioè la lunghezza è 2 volte e 1/2 l'altezza; nel caso D è 2, cioè la lunghezza è 2 volte l'altezza. Invece nel caso B abbiamo, come in A, il rapporto 2.5.
Invece di calcolare 10/4 e trovare che il risultato è 2.5 come nel caso di 5/2, potevamo osservare direttamente che il rapporto 10/4 è uguale al rapporto 5/2. Infatti:
| 10 | = | 5 · 2 | = | 5 · | = | 5 |
| —— | ——— | ——— | — | |||
| 4 | 2 · 2 | 2 · | 2 |
| La scrittura | 5· | sta a indicare che | 5·2 | può essere "semplificato" e trasformato in | 5 |
| —— | —— | — | |||
| 2· | 2·2 | 2 |
Procediamo analogamente quando per fare 600/40 ci riconduciamo al calcolo di 30/2:
| 600 | = | 60 · 10 | = | 60 · | = | 60 | = | 30 · 2 | = | 30 · | = | 30 |
| —— | ——— | ——— | — | —— | —— | — | ||||||
| 40 | 4 · 10 | 4 · | 4 | 2 · 2 | 2 · | 2 |
In pratica utilizziamo il fatto che:
| se i termini di una divisione vengono entrambi moltiplicati – o entrambi divisi – per uno stesso numero (diverso da 0) il risultato non cambia. |
Questa è la traduzione numerica di quanto abbiamo osservato a proposito delle riproduzioni in scala:
| se le dimensioni di un oggetto (i due lati del tavolo o la lunghezza e l'altezza della chiave o …) vengono moltiplicate per la stessa scala, il rapporto tra tali dimensioni non viene modificato. |
Più in generale ogni volta che si moltiplica un insieme di dati per un fattore fissato si ottiene una rappresentazione proporzionale dei dati di partenza, cioè tale che il rapporto tra una coppia qualunque dei nuovi valori è uguale al rapporto tra la coppia dei valori originali. Per questo motivo una relazione del tipo:
| (2.1) | (grandezza2) = (grandezza1) · k |
dove k è un numero (diverso da 0) fissato, viene detta relazione di proporzionalità.
Il numero k viene detto fattore di proporzionalità.
Nel caso particolare delle scale, se k>1 si parla di fattore (o
scala) di ingrandimento, se 0<k<1 di fattore di
riduzione.
| Completa le seguente tabella, relativa a
quattro diverse rappresentazioni proporzionali [figure: 3, 4, 2] |
| grandezza1 | grandezza2 | k | |||||||||||||
| fig.3 a sinistra |
| ||||||||||||||
| fig.3 a destra | |||||||||||||||
| figura 4 | |||||||||||||||
| figura 2 | |||||||||||||||
Anche nel caso della tabella (1.1) abbiamo una rappresentazione
proporzionale: i dati reali sono stati rappresentati in milioni, cioè sono stati divisi per 1 milione,
ossia moltiplicati per 1/106 (= 10−6).
Anche le relazioni inverse sono relazioni di proporzionalità.
Ad esempio, riferendosi alla figura 4,
| oltre a: | distanza in B = (distanza in A) · 2 | |||||
| anche: | distanza in B = (distanza in A) · |
| è del tipo (2.1) | |||
 | passando da A a B un tratto lungo 4 viene trasformato in un tratto lungo 4·2; passando da B a A un tratto lungo 5 viene trasformato in un tratto lungo 5·(1/2) |
Generalizzando:
| Se sulla CT
(quella "piccola" considerata alla fine del paragrafo 1)
batti 1/(1/8) (e poi "=") che
cosa ottieni? … Descrivi questo fatto completando la frase: | |
| Il reciproco del ................................... di 8 è 8. | ||
3. Rappresentazioni percentuali, approssimazioni
A questo punto ci pare chiaro che per confrontare, ad esempio, consumi alimentari e non alimentari nel 1926 e nel 2010 ci conviene trasformare i dati in modo proporzionale, in modo che il totale riferito ai due anni sia rappresentato in modo uguale. Un esempio:
in cifre
128 
2010, alimentari 144291 non alimentari 806211
15.181% 84.819%
1926, alimentari 77749 non alimentari 46456
62.597% 37.403%
Anche senza leggere i dati, dalla figura capiamo subito che i consumi non alimentari nel 1926 erano meno di 4/10 (40%) mentre nel 2010 erano più di 8/10 (80%).
Prima di riflettere su questa rappresentazione, vediamo come ottenerla facilmente con questo script:
Invece che rappresentare le quantità con rettangoli con la stessa base li abbiamo rappresentati con rettangoli consecutivi, con un cosiddetto diagramma a striscia. Avremmo potuto rappresentare tutto a mano, su una striscia di carta millimetrata lunga 100 mm, suddividendola nel caso del 1926, in una parte lunga 63 mm e una lunga 37 mm. Vedremo tra poco come ottenere "a mano" 63 e 37.
Perché la scelta di rappresentare il totale dei consumi con 100 quadrettini?
Perché è comoda. Infatti da una parte, come vedremo fra poco, la scelta del numero 100 facilita i calcoli. Dall'altra i dati sono rappresentati da numeri (di quadrettini) compresi tra 0 e 100, facili da ricordare e, per l'abitudine che abbiamo ad usare sistemi di misura decimali (ad esprimere mezzo metro come 50 cm, un quarto di etto come 25 grammi, un terzo di litro come 33 cl, …), facili da confrontare tra loro e con il totale (100).
Possiamo addirittura fare a meno del diagramma: una volta che sappiamo che nel 1926 i consumi alimentari erano 63 centesimi del totale, riusciamo a immaginarci una striscia lunga 100 e una sua parte lunga 63.
Se invece del modello grafico si usa solo la rappresentazione delle parti sotto forma di centesimi del totale, si parla di rappresentazione in parti percentuali (o semplicemente percentuali). Questa espressione deriva dal fatto che al posto dell'espressione «63 centesimi» (63/100) si usa spesso l'espressione «63 per cento», scritta in genere così: 63%.
Il disegno seguente richiama e mette in relazione diversi modi di esprimere i rapporti.
| Come suggerisce il disegno precedente, per rappresentare il rapporto tra 2 e 5 su una striscia graduata puoi procedere in due modi: | ||
| (1) | dividere la striscia in quinti, cioè in 5 parti uguali, e prenderne 2; oppure: | ||
| (2) | calcolare 2/5, esprimere il risultato in centesimi e considerare una quantità di segmentini pari al numero di centesimi così trovato | ||
| Procedi in entrambi i modi sulle due strisce riportate qui sotto. | |||
|
Come sono state calcolate le percentuali? Ricordiamo ( La matematica e i suoi modelli,
scheda 2) che il legame tra due grandezze proporzionali è
rappresentato graficamente da una retta passante per il punto
(0,0): un punto che si muova sulla retta conserva inalterato il
rapporto tra coordinata verticale e coordinata orizzontale.Da ciò segue la possibilità di calcolare le percentuali con un metodo grafico. |
 |
Vediamo in dettaglio il
procedimento da impiegare e, a destra, la sua esemplificazione
riferita a figura 5: come si è trovata la percentuale dei
consumi alimentari nel 1927, cioè il rapporto tra il dato
77 mila 749 e il totale 124 mila 205 (milioni di lire).
| – | scegliamo opportune "scale" in modo da rappresentare facilmente sull'asse orizzontale i dati e sull'asse verticale le relative percentuali; | |||
| – | tracciamo la retta che congiunge (0,0) e (totale,100), cioè (124.2,100); | |||
| – | per il dato 77.7 individuiamo il punto di questa retta che ha come ascissa 77.7; | |||
| – | l'ordinata di questo punto, 63, è la percentuale cercata. |
figura 5 |  |
| Procedi analogamente per trovare la percentuale costituita dai
consumi riportati sotto la voce "altro" (15.3… miliardi). |
Come possiamo procedere con un metodo numerico?
In due modi:
| – | esprimere in forma percentuale il rapporto tra il dato e il totale: | |||||||
| (3.1) |
| |||||||
| oppure | ||||||||
| – | moltiplicare il dato per il fattore di proporzionalità (rapporto tra nuovi valori e valori originali): | |||||||
| (3.2) |
| |||||||
E` evidente che (3.1) e (3.2) sono equivalenti: moltiplicando per 100 prima della divisione per totale o dopo di essa si ottiene comunque lo stesso numero.
| Utilizzando (3.1) o (3.2) calcola la percentuale relativa al 2010 ottenuta con lo script all'inizio del paragrafo e riportala così come è visualizzata dalla CT. Scrivi anche quali valori hai sostituito alle variabili presenti nella formula. | |||
| dato ← ..... | totale ← ..... | percentuale visualizzata dalla CT: ..... | ||
Analogamente, con una delle CT considerate (ad es. quella piccola),
si può procedere analogamente per trovare le percentuali relative al 1926.
Introducendo 77749 / 124205 * 100 e 46456 / 124205 * 100 si ottengono:
62.59731894851254,
37.402681051487455.
Il numero 62.597… nel diagramma a striscia precedente lo abbiamo approssimato con 63. Lo avremmo potuto approssimare con 62?
Possiamo scegliere tra una approssimazione:
– per troncamento, cioè togliere tutte le cifre successive al posto degli interi (ossia tutte le cifre dopo il punto decimale), ottenendo 62, o:
– al numero più vicino, cioè prendere l'intero più vicino a 62.597…, ottenendo 63; questo secondo procedimento viene di solito chiamato arrotondamento.
| Se (come abbiamo fatto usando il metodo grafico) tra le tacche di separazione tra un quadrettino e il successivo vogliamo prendere quella più vicina al punto che rappresenterebbe esattamente il dato dobbiamo procedere per arrotondamento, e quindi prendere 63. Procediamo analogamente per 37.402…; otteniamo 37, ma in questo caso avremmo ottenuto lo stesso valore se avessimo proceduto per troncamento. |  |
Nota. Molti impiegano la parola arrotondamento per indicare una qualunque approssimazione con un numero inferiore di cifre; noi nel seguito useremo in genere la parola "arrotondamento" nel significato di "approssimazione al numero più vicino".
| In quali casi troncando e arrotondando alle unità si ottiene lo stesso numero intero? Completa la tabella seguente. Quindi evidenzia sul disegno sottostante l'intervallo dei numeri che vengono arrotondati a 73 ed evidenzia diversamente quello dei numeri che vengono troncati. L'intersezione tra i due intervalli è l'intervallo dei numeri cercati. | |||||||||||||||||||||||||||||||
  |
| |||||||||||||||||||||||||||||||
Una regola per eseguire gli arrotondamenti alle unità è dunque la seguente:
| – se la cifra di posto inferiore a quello delle unità (cioè se la cifra dei decimi) è | ||
| 0, 1, 2 ,3 o 4 | si prende il numero troncato alle unità, | |
| – se è | 5, 6, 7, 8 o 9 | si prende il numero troncato alle unità e aumentato di uno |
Analogamente a come abbiamo fatto per i consumi alimentari e non,
possiamo rappresentare mediante istogramma le varie voci di consumo presenti nella tabella
(1.1). Ecco la rappresentazione relativa al 2010 (affiancata a
quella per i consumi alimentari e non).
Abbiamo affidato i calcoli ad un altro script, in cui introduciamo i dati: alimentari 144291 tabacco 18461 vestiario 71352 abitazione 210285 trasporti 119857 altro 386256
| Individua quale, tra i seguenti istogrammi, rappresenta i
consumi nel 1926. Non essendo stati riportati i valori numerici
devi trovare la soluzione procedendo per esclusione. Motiva la tua risposta (l'istogramma … non va bene perché … ; l'istogramma … non va bene perché … ; …). |
Abbiamo calcolato le distribuzioni percentuali utilizzando script che "facevano tutto". Vediamo come gestire direttamente
i calcoli impiegando la "piccola"
CT introdotta alla fine di §1. Usiamo le formule
(3.1) o (3.2), per il 1926:
–
totale è 124205,
–
dato assume man mano i valori:
77749, 3226, 17659, 6849, 3420, 15302.
Copiamo una volta per tutte questi valori nella prima riga delle "Note" e copiamo nella seconda riga il calcolo
 |
• Metto 2 come "numero delle cifre dopo "." a cui arrotondare il risulato (se voglio solo 2 cifre decimali)  |
|
Se tracci gli istogrammi relativi al 1926 e al 2010, o se confronti i relativi diagrammi a sctriscia (qua sotto è riprodotto quello
relativo al 2010 (144291, 18461, 71352, 210285, 119857, 386256), puoi
notare come sia cambiata l'incidenza di
ciascuna voce sul totale. Individuate per quali voci tale incidenza è
aumentata, per quali è diminuita, per quali questi
cambiamenti sono stati maggiori, …. Quali osservazioni potete
fare, di conseguenza, sui cambiamenti nelle condizioni di vita? Quali
consumi pensate siano compresi sotto la voce "altro"? |
| Nel 1989 in Italia un abitante ha consumato mediamente 26.3 kg di carne bovina, 26.5 kg di carne suina, 30.3 kg di carne di altro tipo (pollo, agnello, pesce,…); nel 1969 gli stessi consumi sono stati, rispettivamente, di 23.5, 9.3 e 17.5 kg. Per entrambi gli anni, calcola la distribuzione percentuale del consumo di carne e tracciane l'istogramma. |
| Calcola la somma delle percentuali arrotondate agli interi delle voci dei consumi del 2010 considerate nel quesito 21 (15, 2, 8, 22, 13, 41) fa 100%? Trovate una spiegazione per questa "stranezza" del risultato e scrivetela in forma sintetica qua sotto. |
CONTINUA