Per strada
La matematica per i movimenti e i mezzi di trasporto
Scheda 1
Da casa a scuola
0. Introduzione
1. Scale, distanze, direzioni, spostamenti
2. Uso delle coordinate
3. Esercizi
Sintesi
0. Introduzione
In
questa unità didattica prenderemo in considerazione la matematica che
serve per descrivere e studiare i movimenti. Considereremo sia gli spostamenti
lungo percorsi stradali, sia i movimenti che vengono generati o trasformati da
un mezzo di trasporto.
Vedremo,
anche, come la matematica ci possa permettere di collegare questi aspetti geometrici
a problemi importanti per usare consapevolmente un
mezzo di trasporto, come quello del comportamento da tenere al variare della
pendenza della strada o quello della sicurezza stradale.
Alcuni aspetti
più strettamente matematici verranno man mano approfonditi nell'u.d. La
Matematica e lo Spazio.
1. Scale, distanze, direzioni, spostamenti
Partiamo da un problema familiare. Lo studente Otto Bus ogni mattina prende un autobus che lo porta
dalla località in cui abita alla cittadina in cui è ubicata la
scuola; poi percorre a piedi la strada dalla fermata di arrivo alla scuola.
In figura 1 è riprodotta
parte di una carta stradale che contiene sia la casa di Otto che la scuola.
figura 1 [clicca per ingrandire] |
![](../../om/esr/ge2/mappa1.gif) |
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Sulla
cartina è indicata la scala grafica. Misura la lunghezza (arrotondata ai millimetri) del
tratto che rappresenta 250 m ed esprimi sotto forma di rapporto la scala
numerica (figura → realtà), cioè il fattore di ingrandimento per passare
dalle misure sulla figura alle misure reali. |
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scala (figura → realtà) = 250 m /( ... mm) |
Qual è il valore numerico di questo rapporto? |
scala (figura → realtà) = ... |
Un compagno di classe
di Otto abita nella località indicata con A, un altro nella
località B. Per chi, fra Otto e questi compagni, è minore la distanza
della scuola da casa?
Se intendo la distanza in senso temporale, devo rispondere: per Otto.
Infatti Otto ha la fermata dell'autobus
sotto casa mentre da A e da B occorre percorrere un bel pezzo a piedi prima di
arrivare sulla strada in cui passa l'autobus.
Se intendo la distanza lungo la strada, devo rispondere che essa è minore
per l'alunno che abita in A.
La distanza in linea
d'aria è invece minore per l'alunno che abita in B.
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Calcola la distanza in linea d'aria tra la casa di Otto e la scuola (arrotondata ai metri). |
distanza sulla figura in mm = ... |
scala (figura in mm → realtà in m) = 250/
|
distanza reale in m = ... ·scala = ... ·250/
=
... |
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Calcola la distanza lungo la strada tra la fermata in cui Otto prende il bus e quella
di arrivo, cioè la lunghezza del percorso dell'autobus.
Ti conviene calcolare le lunghezze reali di ogni tratto rettilineo e poi
sommarle o fare prima la somma delle lunghezze sulla figura e poi moltiplicare
questo valore per la scala? |
Si può osservare
che il solo percorso dell'autobus è maggiore della distanza in linea
d'aria casa-scuola.
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Se l'autobus seguisse un percorso parzialmente diverso, svoltando a destra al
primo incrocio dopo la casa di Otto (strada tratteggiata meno fittamente),
secondo te percorrerebbe più o meno strada?
[rispondi senza fare misure e calcoli] |
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Verifica la congettura calcolando la lunghezza di questo percorso. |
| |
Si poteva verificare la congettura senza fare misure e calcoli?
[aiutati con la figura 2, in cui P1-X-Y-P2 e P1-U-V-W-P2
sono i due tratti di percorso alternativi, e utilizza la proprietà
che la somma delle lunghezze di due lati di un triangolo è maggiore
della lunghezza del terzo]
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![](p1xyp2.gif) |
| figura 2 |
Sia che segua il solito
tragitto, sia che segua il nuovo, il bus si sposta comunque dal punto P1 (incrocio dopo la casa di
Otto) al punto P2 (incrocio prima dell'ingresso nella cittadina). Quando non si
vuole descrivere tutta la traiettoria percorsa da un oggetto in movimento ma si vuole descrivere solo come la
posizione di arrivo è cambiata rispetto a quella di partenza, si usa il
concetto di spostamento:
lo spostamento per andare da un punto P a un punto Q è caratterizzato da
due elementi:
• la direzione con cui da P si punta verso Q, | |
• la distanza in linea d'aria di P da Q. |
figura 3 |
Gli spostamenti possono
essere rappresentati con frecce: nella figura 3 (cliccala per ingrandirla)
la freccia S1 rappresenta lo spostamento
casa-scuola di Otto, la freccia S2 rappresenta lo spostamento da P1 a P2 del
bus.
Nella cartina le direzioni
possono essere individuate riferendosi ai punti cardinali raffigurati. Ad
esempio quando il bus passa davanti alla casa di Otto è diretto nella
direzione NE (nord-est).
Vediamo come possiamo determinare
la direzione di S1, cioè dello spostamento casa-scuola. |
Posso porre una squadretta nella posizione 1 (figura 4), in modo che uno dei due lati che formano l'angolo
retto si sovrapponga alla freccia S1.
Quindi pongo una riga nella posizione 2 (al posto della riga si può usare un'altra
squadra) e faccio scorrere la squadra, fino ad arrivare alla posizione 3.
Il lato della squadra che era sovrapposto a S1 durante il movimento ha mantenuto
la stessa inclinazione, per
cui ora mi consente di individuare la direzione di S1. Come
si vede meglio nell'ingrandimento, una freccia passante per il
centro del cerchio graduato e diretta come S1 passa per la terza divisione in
cui è suddiviso il settore che va da E a N.
![](p1xyp2c.gif) | figura 4 |
![](p1xyp2d.gif) |
Le
tacche sono distanziate di 15° l'una dall'altra (infatti da E a N vi sono 6
divisioni). Quindi la direzione è compresa tra 30°E→N e 45°
E→N; posso approssimarla meglio dicendo che è circa 35° E→N (direzione ruotata di circa 35°
verso nord rispetto alla direzione
est).
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Trova la direzione dello spostamento S2 (lavora su fig. 1 usando una riga e
una squadra o due squadre; al posto di una squadra puoi impiegare un libro o un
altro oggetto con due spigoli consecutivi perpendicolari). |
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In figura 5 sono tracciati i punti
P1 e P2 e una freccia che rappresenta lo spostamento S che porta da P1 a
P2. Traccia i punti Q2, T2 e V2 in
cui si arriva partendo da Q1, T1, V1 e "applicando" lo spostamento S
(cioè effettuando cambiamenti di posizioni descrivibili con frecce
uguali in lunghezza e in direzione a quella che va da P1 a P2). |
![](Q1P1P2.gif)
figura 5
figura 6 |
La
traiettoria seguita da Otto è composta da tanti tratti rettilinei, per
cui la sequenza di spostamenti
a, b, c, d, e, f, g, h, i
rappresentati in figura 6 (cliccala per ingrandirla) la descrive in
maniera esauriente. S1
descrive il cambiamento di posizione complessivo che risulta dalla successione degli
spostamenti a, b, c, d, e, f, g, h, i.
Anche la successione di spostamenti a,
S2, e, f, g, h, i dà luogo allo spostamento
complessivo S1. |
2. Uso delle coordinate
Il tragitto che Otto percorre a piedi può essere esaminato più in
dettaglio servendosi di una cartina meno ridotta (→ figura 7; cliccala per
ingrandirla). |
![](../../om/esr/ge2/mappa6.gif) |
figura 7 |
In questa cartina non sono indicati i cosiddetti "punti cardinali".
Per indicare gli spostamenti possiamo
riferirci alle direzioni "orizzontale a destra", "orizzontale a
sinistra", "verticale in basso", "verticale in alto".
Ad esempio il primo tratto di strada percorso da Otto va da una posizione del
riquadro E1 a circa la stessa posizione del riquadro E2 e, poiché un
riquadro è largo (nella realtà) 50 m, possiamo dire che si tratta
di uno spostamento orizzontale di circa 50 metri verso destra.
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Come possiamo
descrivere lo spostamento complessivo,
dalla fermata del bus all'ingresso della scuola?
In prima battuta
possiamo osservare che Otto si sposta dal riquadro E1 al riquadro A4,
cioè di circa 3 riquadri a destra e 4 in alto, cioè di circa 150
m a destra e 200 m in alto.
Per essere più
precisi invece che alle coordinate del tipo A1, B2, …, ci possiamo
riferire a coordinate numeriche (→ numeri scritti a tratteggio nella figura 7):
Otto è partito circa dal punto (25,30), cioè 25 m a destra rispetto al
bordo sinistro della cartina e 30 m in alto rispetto al bordo inferiore.
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Come puoi descrivere il punto finale di arrivo di Otto? E come lo
spostamento fermata-scuola? |
Abbiamo, dunque, visto che uno spostamento può essere descritto sia con la
coppia di informazioni:
direzione, distanza
sia con la coppia di informazioni:
variazione della coordinata orizzontale, variazione
della coordinata verticale.
Nel caso dello spostamento fermata-scuola abbiamo (→ figura 8 a sinistra):
variazione della coordinata orizzontale = 170, variazione della coordinata verticale = 180.
figura 8 |
![](coord.gif) |
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Come descriveresti lo spostamento opposto, scuola-fermata? |
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Qual è la distanza "lungo la strada" della scuola dalla fermata
del bus? E quella della fermata del bus dalla scuola? |
Non vi sono traiettorie
più brevi per raggiungere la scuola di quella seguita da Otto,
cioè della traiettoria E1-E2-D2-D3-A3-A4 (abbiamo indicato, oltre ai
riquadri iniziale e finale, quelli in cui avvengono le svolte). Tuttavia,
poiché le strade della cittadina si incontrano perpendicolarmente,
formando un reticolato, vi sono altri percorsi brevi come quello scelto da
Otto:
1 | E1 | E4 | A4 | | | | |
2 | E1 | E3 | D3 | D4 | A4 | | |
3 | E1 | E3 | C3 | C4 | A4 | | |
4 | E1 | E3 |
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5 | E1 | E2 | D2 | D4 | A4 | | |
6 | E1 | E2 | D2 | D3 | C3 |
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7 | E1 | E2 | D2 | D3 | A3 | A4 | |
8 | | | | | | | |
9 | | | | | | | |
10 | | | | | | | |
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basta che, a partire dalla fermata del bus, si proceda percorrendo le strade
orizzontali solo verso destra e le strade verticali solo verso l'alto,
cioè avvicinandosi sempre alla scuola.
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Quante sono le traiettorie che comportano la minima percorrenza? [Aiutati completando la tabellina
a fianco, in cui sono già parzialmente riportate alcune traiettorie
"minime"; la riga in corsivo rappresenta la traiettoria seguita da
Otto] |
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Dunque, se le strade sono parallele ai bordi, abbiamo:
(2.1) distanza
lungo la strada = |variaz. della coord. orizzontale| + |variaz. della coord.
verticale|
Se
vogliamo conoscere la distanza "in linea d'aria" fermata-scuola e non disponiamo di una riga, come
possiamo procedere?
Possiamo, ad esempio,
disporre una striscia di carta lungo lo spostamento fermata-scuola, e, con una
matita o con delle piegature, segnare su di essa la posizione della fermata del
bus e quella dell'ingresso della scuola. Spostando la striscia lungo uno dei
bordi possiamo poi individuare la corrispondente distanza in metri.
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Opera
in questo modo in figura 7, sulla riproduzione della cartina. Quale valore
(arrotondato alle decine di metri) trovi? |
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Qualcuno
di voi sa escogitare un modo per trovare questa distanza senza operazioni di
tal genere, ma servendosi delle sole coordinate della fermata del bus e
dell'ingresso della scuola? [osservate la figura a fianco] |
![](pit0.gif) |
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Trova
con questo metodo la distanza in linea d'aria (arrotondata alle decine si
metri) e confrontala con il valore trovato con il quesito 13. |
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variazione della coordinata orizzontale = 170
variazione della coordinata verticale = 180
somma dei due quadrati = … |
suo quadrato = …
suo quadrato = …
radice quadrata di tale somma = … |
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Usa la "grande CT" per calcolare tale distanza. |
(170*170) + (180*180) = ...
rad(A) = 247.58836806279893
B round to 1^ digit before units : ... |
La proprietà che abbiamo impiegato, cioè il teorema di Pitagora (→ figura 9),
già considerato in una scheda precedente con lo script Pitagora,
può essere espressa nella forma:
(2.2) ipotenusa2 = cateto12 + cateto22 ovvero:
(2.3) ipotenusa = √(cateto12 + cateto22)
dove
con ipotenusa, cateto1 e cateto2
abbiamo indicato le misure delle lunghezze dell'ipotenusa e dei due
cateti in una fissata unità di misura.
| figura 9 | ![](pit1.gif) |
Il quesito 15 ci
conferma la validità di questa proprietà: la misura diretta della
distanza in linea d'aria (ipotenusa) è uguale a quella che si ottiene
utilizzando (2.3).
Non è, tuttavia,
una conferma definitiva: abbiamo considerato non misure "esatte", ma
misure approssimate alle decine di metri; poi abbiamo verificato la
proprietà solo in un caso particolare. Comunque tutte le verifiche
sperimentali su figure a forma di triangolo rettangolo disposte su "piccole" superfici piane
hanno sempre confermato questa relazione.
Nel quesito e3 è presentato un
ragionamento che dimostra in generale questa proprietà (la parola teorema
indica, appunto, che questa proprietà
può essere dimostrata).
| |
Sotto è raffigurato un triangolo rettangolo e tre righe millimetrate disposte
lungo i suoi lati. Con le righe troviamo che le misure (in mm) dei cateti
cadono negli intervalli di indeterminazione [53, 54] e [30, 31].
(a) Usando (2.3) trova
l'intervallo di indeterminazione in cui cade l'ipotenusa.
(b) Verifica se c'è
contraddizione tra l'intervallo così trovato e quello che si ottiene
misurando direttamente l'ipotenusa. |
53 ≤ cateto1 ≤ 54 2809 ≤ cateto12 ≤ 2916
≤ cateto2 ≤
≤ cateto22 ≤
Con il teorema di Pitagora:
√(2809 +
) ≤ ipotenusa ≤ √(2916 +
)
≤ ipotenusa ≤
Con la misura diretta:
≤ ipotenusa ≤
| |
![](pit3.gif) |
3. Esercizi
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Nella figura a lato sono raffigurati tre spostamenti a, b e c.
− Traccia
una freccia che rappresenti lo spostamento complessivo che si ottiene
componendo ordinatamente questi
tre spostamenti.
− Come
potresti descrivere numericamente questo spostamento?
− Prova
a comporre a, b, c in ordine diverso e raffigura lo spostamento complessivo.
− Come
potresti calcolare lo spostamento complessivo senza fare disegni?
− Potevi concludere che lo
spostamento complessivo è immutato ragionando solo sulla descrizione
numerica dei tre spostamenti? | ![](griglia.gif) |
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Calcola
con una riga millimetrata la distanza tra le posizioni che corrispondono al
vertice in alto a sinistra e al vertice in basso a destra della cartina dell'esercizio
precedente (procedi come nel quesito 2; ma, attento, la scala di questa cartina
è diversa!). Confronta
questo valore con quello che puoi ottenere procedendo come nel
quesito 16. |
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La figura seguente richiama il contenuto dello script "Piagora" considerato sopra.
Si tratta di una dimostrazione del teorema di Pitagora, che funziona perché
sto ragionando su piccole superfici, in cui ho supposto che esistano i quadrati.
Sulla superficie terrestre in realtà ciò non accade, come ricorda la figura sottostante a destra, in cui è rappresentato un triangolo con tutti i lati eguali ad un quarto di circonferenza terrestre. Supponendo che la terra sia
perfettamente sferica, stabilisci quanto vale la somma delle ampiezze degli angoli di questo triangolo. |
| |
Con il programma in JavaSript a cui puoi accedere da qui
puoi analizzare il significato degli operatori logici. Completa quanto segue: |
P: x=y Q: z=w P Q NOT P P AND Q P OR Q
x,y? 2,2 z,w? 2,2 V V _ _ _
x,y? 2,2 z,w? 2,1 V F _ _ _
x,y? 2,1 z,w? 2,2 F V _ _ _
x,y? 2,1 z,w? 2,1 F F _ _ _ |
Gli operatori
logici sono comodi per rappresentare condizioni che non sono rappresentabili
con un'unica equazione o un'unica disequazione.
Ad es. 0<x<10 è
una abbreviazione della condizione "x è maggiore di 0 e minore di
10", che può essere espressa con:
0<x AND x<10 o:
x<10 AND x>0 o
… . Infatti P AND Q
è vera solamente nel caso in cui siano vere sia P
che Q (→ penultima colonna delle uscite sopra riportate). Nel
linguaggio comune la congiunzione "e" a volte viene usata nello stesso significato di
AND: in «se Gianni ha fretta e è senza
auto, gli presto la mia» si intende dire che se sono vere entrambe le
condizioni ("Gianni ha fretta", "Gianni è senza
auto") l'auto viene prestata. In genere "e" ha, invece, significati diversi.
(a) «se
prende l'ascensore e sale al
6° piano trova l'ufficio a cui deve rivolgersi»: basta che la persona compia le due
azioni di "prendere l'ascensore" e "salire al 6° piano"
perché trovi l'ufficio o occorre che compia le due azioni in un certo
ordine? [prova
a leggere la frase invertendo le condizioni «prende …» e «sale…»]
(b)
«se x è minore di 1 e positivo, 1/x è maggiore di 1»
può essere espressa con «se sono vere le condizioni "x
è minore di 1" e "x è positivo" allora …;
puoi trasformare in maniera analoga «se la maglia è gialla e
rossa si tratta di un giocatore della Roma»?
(c)
P OR Q è falsa nel caso in cui siano false sia P
che Q, è vera negli
altri casi. Nelle seguenti frasi
la congiunzione "o"
è usata nello stesso significato di OR
− «se hai l'ombrello o indossi l'impermeabile ti bagnerai poco»
− «se noleggia una Alfa o se noleggia una Golf spende 120 € al giorno»
Nota. In JavaScipt gli operatori logici sono indicati in modi diversi da quelli
qui indicati. Quali?
| |
Il programma in JavaSript a cui puoi accedere da qui
ti consente di studiare quando è vera la condizione
P AND Q AND R. Prova ad usarlo. |
| |
Il programma in JavaSript a cui puoi accedere da qui
ti consente di studiare quando è vera la condizione
P OR Q OR R. Prova ad usarlo. |
1) Segna con
l'evidenziatore, nelle parti della scheda indicate, frasi e/o formule che
descrivono il significato dei seguenti termini:
spostamento (dopo ques.6 e dopo ques.9), teorema di Pitagora (dopo ques. 16), operatori logici (es. e4).
2) Su un foglio da
"quadernone", nella prima facciata, esemplifica l'uso di ciascuno dei
concetti sopra elencati mediante una frase in cui esso venga
impiegato.
3) Nella seconda facciata
riassumi in modo discorsivo (senza formule, come in una descrizione
"al telefono") il contenuto della scheda (non fare un
elenco di argomenti, ma cerca di far capire il "filo del
discorso"). |
script: piccola CT
grande CT
isto
isto con %
boxplot
striscia
100
60
ordina
Grafici
Perc
divisori
Indet
divis
Pitagora
operatori logici