>	Int(sin(3*x),x);

t = 3x      dt/dx  = 3    dx=dt/3        

>	subs(t=3*x,-1/3*cos(t));

Controllo con Maple:

>	Int(sin(3*x),x) = int(sin(3*x),x);

Per calcolare    posso fare   -cos(3*1)/2 - (-cos(3*0)/2)   oppure:

      ho applicato t = 3x agli estremi di integrazione  

>	print (Int(sin(3*x),x=0..1), Int(sin(t),t=0..3)/3, int(sin(3*x),x=0..1));

 ---- (2) -----------------------------------------------------------------

>	Int(sin(3*log(x))/x,x=1..2);

In [1,2] l'integranda è definita e continua.      t=3 log(x)   dt=3dx/x  dx = dt/3*x   

>	diff(3*log(x),x);

>	Int(sin(t),t) = int(sin(t),t); Int(sin(t),t=0..3*log(2))/3 = subs(t=3*log(2),int(sin(t),t)/3)-subs(t=0,int(sin(t),t)/3); simplify(%); simplify(");

Controllo con Poligon (copia la parte rossa e aziona CLP):
F(x)=SIN(3*LOG(x))/x

[1,2] F INT =   0.4956648059

-4/3*COS(LN(2))^3+COS(LN(2))+1/3 = 0.4956648059885939

OK

Verifica dell'integrale indefinito:

>	Int(sin(3*log(x))/x,x) = int(sin(3*log(x))/x,x);

ATTENZIONE: il calcolo diretto dell'integrale definito con Maple in questo caso non avrebbe dato un "bel risultato":

>	Int(sin(3*log(x))/x,x=1..2) = int(sin(3*log(x))/x,x=1..2);

Numericamente invece OK:

>	Int(sin(3*log(x))/x,x=1..2) = evalf(int(sin(3*log(x))/x,x=1..2),12);

 ---- (3) ----------------------------------------------------

>	Int(1/(x^2+4*x+5),x);

Cerco di usare:

>	Int(1/(1+x^2),x)=int(1/(1+x^2),x);

(x+2)^2 = x^2+4x+4    (x+2)^2+1     x+2=t  dt=dx

>	Int(1/((x+2)^2+1),x) = Int(1/(t^2+1),t);

>	int(1/(t^2+1),t); subs(t=x+2,%); subs(t=x+2,");

Verifica:

>	diff(arctan(x+2),x); expand(%);

 ---- (4) ----------------------------------

>	Int(sin(x)^2*cos(x)^3,x);

sin(x)=t    dt/dx = cos(x)   dx = dt/cos(x)     cos(x)^3 dx = cos(x)^2*cos(x) dx     cos(x)dx  = dt

>	Int(t^2*(1-t^2),t) = expand(Int(t^2*(1-t^2),t)); int(t^2*(1-t^2),t);subs(t=sin(x),%);

Verifica (ottengo espressioni diverse; per vedere se sono equivalenti ne faccio la differenza e semplifico):

>	diff(-1/5*sin(x)^5+1/3*sin(x)^3,x); % - (sin(x)^2*cos(x)^3); simplify(%);

---- (5) --------------------------------------

>	Int(cos(3*x)^5,x);

t = sin(3x)   dt/dx = cos(3x)*3  cos(3x)^4 = (cos(3x)^2)^2 = (1-sin(3x)^2)^2

>	Int((1-t^2)^2,t)/3;

>	expand((t^2-1)^2);

>	Int(t^4-2*t^2+1,t)/3= subs(t=sin(3*x),int(t^4-2*t^2+1,t)/3);

Calcolo diretto e verifica:

>	int(cos(3*x)^5,x); subs(t=sin(3*x),int(t^4-2*t^2+1,t)/3)-int(cos(3*x)^5,x); simplify(%);

---- (6) -------------------------------

Come fare a mano:

>	Int(1/sqrt(a^2-x^2),x) = int(1/sqrt(a^2-x^2),x);

Ci si puo' arrivare pensando a     direttamente o usando la sostituzione:

t= x/a   dt/dx = 1/a  dx = a dt    

>	Int(1/sqrt(a^2-x^2),x) = Int(1/sqrt(1-t^2)*a,t)/a; Int(1/sqrt(1-t^2),t) = subs(t=x/a,int(1/sqrt(1-t^2),t));

Come mai ho un risultato diverso?

Le due espressioni sono equivalenti? Nel portare fuori a abbiamo supposto che fosse positivo.

Proviamo a mettere l'assunzione a positivo:

>	assume(a>0); Int(1/sqrt(a^2-x^2),x) = int(1/sqrt(a^2-x^2),x);

>

about(a);

Originally a, renamed a~:

  is assumed to be: RealRange(Open(0),infinity)

OK

Togliamo l'assunzione con   a := 'a'

>	a := 'a': about(a);

a:

  nothing known about this object

Vediamo che cosa sarebbe accaduto per a negativo:

>	assume(a<0); Int(1/sqrt(a^2-x^2),x) = int(1/sqrt(a^2-x^2),x);

Nel cacolo a mano avremmo dovuto distinguere i due casi.

Togliamo l'assunzione.

>

a := 'a':