ALiMa
Geometria - Aspetti fondazionali, storici, didattici, informatici
10 maggio 2011 - Dipartimento di Matematica - Università di Genova

    Figure in movimento     (F11 ↔)

Carlo Dapueto

Io farò una introduzione storica alla problematica facendo riferimento ai vari tipi di software per generare e muovere figure.   Poi, nel suo intervento, Laura Parenti si occuperà più specificamente del software cosiddetto di geometria dinamica.   Il taglio è un po' diverso da quello pensato inzialmente, per dare un po' di equilibrio al discorso complessivo di questa giornata di lavoro e non incentrarlo solo sulla "geometria dinamica".

——————— (1) ———————

Clicca (e attendi ...):

un flash dal libro di Geometria di Gallarati, con stupendi disegni fatti a mano libera, su cui hanno studiato migliaia di studenti del primo anno delle facoltà scientifiche e tecniche dell'Università di Genova (e molti insegnanti, o ex).

È stato "leggermente" animato, per facilitare la comprensione del legame tra testo e immagine.  Una animazione più spinta, a questo livello di studi, probabilmente non avrebbe aiutato molto la comprensione.  Altro sarebbe, ai nostri giorni, con gli strumenti a disposizione, far creare e costruire delle animazioni.  Su ciò ritorneremo.

——————— (2) ———————

Negli stessi anni dell'uscita del libro si svilupparono le prime calcolatrici scientifiche. Esse consentirono di implementare e rendere praticabili da un ampio pubblico prime procedure di calcolo, essenzialmente legate all'analisi e all'algebra elementare, e agli aspetti geometrici connessi a queste aree.  Un esempio:  l'area sottesa al grafico di una funzione non integrabile elementarmente (vista, qui, con un semplice JS, simulando quanto era fattibile con tali calcolatrici):

integrazione

——————— (3) ———————

Cambia, in parte, il modo in cui affrontare i problemi matematici, cambia (almeno in teoria) la pratica didattica (anche a livello universitario, in Italia, in molti casi non è cambiata molto), nascono nuovi intrecci tra matematica applicata e non, …

Per quanto riguarda la geometria, il passo decisivo fu la nascita e la diffusione dei terminali grafici e dei primi personal computer. A Genova e in molte università in tutto il mondo ciò si realizzò soprattutto attraverso lo sviluppo e la diffusione delle piccolissime HP85 (realizzate nel 1979, circa un anno dopo rispetto alle HP45, più voluminose). Si cominciarono a sviluppare semplici programmini in cui geometria e numeri si intrecciavano naturalmente, oltre che nell'ambito dell'algebra vettoriale anche in relazione alla costruzione di immagini in movimento (usando la funzione "orologio" presente nel software):

figure in movimento (1)

Gli strumenti concettuali visti nei corsi (a teoria o ad esercizi) servivano per costruire gli oggetti matematici, ed altri strumenti concettuali sarebbero serviti per costruirne di nuovi ... (ma è stata una breve parentesi ...).

——————— (4) ———————

Si sviluppano presto (prima in ambito Mac e, da un certo punto in poi, soprattutto, in ambito Windows) applicazioni per il trattamento delle immagini che utilizzano il mouse, ossia la possibilità di dare input "numerici" mediante movimenti "geometrici".  Un semplice esempio (apri Paint per incorporarvi la figura)

pesce   (p. trasformato)

——————— (5) ———————

Qualche altro esempio

È evidente che occorre cambiare qualcosa nei contenuti e nell'impostazione dell'insegnamento, capire che qualcosa da "Hilbert" è cambiato, e innanzitutto, capire "Hilbert" (i suoi obiettivi, che non erano quelli di insegnare la geometria ...  [ma il discorso si farebbe lungo; chi è interessato qualche considerazione la trova qui]).

Enormi cambiamenti avvengono nelle applicazioni della geometria al disegno automatico.  Non abbiamo il tempo di affrontare questi aspetti.  Sarebbe interessante vedere come si sono sviluppate le prime applicazioni Draw (quelle grosso modo ora incorporate in Open Office e in Word) e le applicazioni CAD, che sono oggetto d'uso e di studio in molte scuole superiori  (che interazioni ci sono con l'insegnante di matematica? su questo torneremo).

——————— (6) ———————

Si sviluppa Internet (in Italia a partire dal 1986), nasce la possibilità di costruire e diffondere via rete immagini animate, i ragazzi pian piano incominciano ad esplorare questo mondo e, in qualche modo, a diventarne protagonisti.  Qualche (altra) immagine, per dare idea del modo in cui le animazioni possono intervenire in vari ambiti dell'insegnamento della geometria:

figure in movimento (2)

Questo tipo di animazioni è tra le prime forme di costruzione di figure in movimento; funzionano essenzialmente come in un film:  sono fotogrammi giustapposti e intervallati con un opportuno tempo.  Qui una delle prime versioni operanti per Windows, tuttora funzionante (ora versioni meno semplici e intuitive sono incorporate in Open Office, Word, nelle varie applicazioni per fare presentazioni).

——————— (7) ———————

Che cosa può cambiare, nell'insegnamento, col movimento?
Forse non moltissimo al livello universitario: occorre innanzi tutto capire e immaginare; penso che possa essere utile costruire delle animazioni come occasione per mettere alla prova, e rivedere, le proprie conoscenze.  Anche nel libro di Gallarati c'era movimento:  era descritto a parole, e con immagini ferme:  era la mente che doveva immaginarlo.
Questa è una dimensione importante, che non occorre perdere nell'insegnamento, anche a livello pre-universitario:  ci sono nuovi sussidi, ma occorre educare le persone ad immaginare le cose, a pensare come si modificano o come si modificherebbero se ….  L'uso del software dinamico, su cui fra un po' ci soffermeremo, è importante se inquadrato in quest'ottica.  Il rischio, nell'insegnamento, è quello di inserire delle immagini animate o del software per costruirle in una prassi didattica che poi, a lato, sviluppa schizofrenicamente, un insegnamento "tradizionale"  (quello alla "Euclide", per intenderci, in cui si fanno delle finte dimostrazioni basandosi sull'intuizione fisica,  in cui non esistono movimenti, simmetrie, ...).

——————— (8) ———————

Il fare "geometria" col computer, comunque, di fatto non è entrato a scuola.  Si usa il CAD o altre applicazioni grafiche in altre materie, ma raramente in "matematica".  Forse, adesso, con GeoGebra (o Cabri) si apre una breccia.  Ma come mai solo ora?  Come mai con questo software?  Perché non ci si sporca le mani col software grafico usato nelle altre discipline (o quello usato dai matematici)?  Sono quesiti che pongo, a cui lascio che ciascuno cerchi delle risposte.

——————— (9) ———————

Di software che costruisce animazioni ne esiste molto.  Il software gratuito più evoluto per fare matematica consente di costruirle facilmente.  Vediamo qualche animazione tridimensionale realizzata con R  (software standard per fare statistica, ma che fa anche analisi, calcolo matriciale, ... - origini 1991, come "S", poi, 6 anni dopo, come "R"  [non fa calcolo simbolico avanzato, ma è programmabile ...]: vedi):
R-1,2,3,4   (1: semplice movimento, realizzato con due righe di comandi;  2: una superficie in movimento;  3: è una parabola o un'ellisse?  4: lancio di 12 dadi, doveroso ...  - basta copiare queste righe e incollare: il programma fa tutto).
I comandi sono molto semplici:  R-2  e si può ragionare / operare con essi.

——————— (10) ———————

Esiste poi moltissimo software gratuito per costruire e "muovere" col mouse grafici e figure sia bi- che tri-dimensionali.  Per questa relazione ho cercato su Google un software di questo genere e ho scaricato il primo che ho trovato:  SurfX3D  (è stato messo in rete in questa forma, per Windows, nel 2006; in C++ nel 1998; in Basic nel 1985).  Proviamo ad usarlo caricando le superfici (in forma parametrica, esplicita o implicita) memorizzate qui.  È di impiego facilissimo (vedi un breve help qui, da dove puoi anche scaricarlo).  E nella nostra scuola ...?
[esiste software totalmente free, un po' più complesso da usare, che consente cose molto più sofisticate; tipico è Persistence-of-Vision, per chi fosse interessato - ma usare un unico software, gratuito, come R, è decisamente più didatticamente sensato …]

——————— (11) ———————

Questi brevi cenni storici mettono in luce che si tratta di cose "vecchie", ma raramente introdotte nella nostra scuola.  Occorre riflettere sul perché ciò è accaduto, e non buttarsi sull'ultimo prodotto, ... se poi rimane l'unico che si usa.  Il problema è cambiare, scegliere cose adatte alle proprie esigenze e alle propria impostazione culturale:  è controproducente usare del software per far fare qualcosa agli alunni col computer e poi insegnare al solito modo.
Deve, poi, cambiare anche il modo in cui si fa geometria tridimensionale (molti spunti in questa direzione sono stati dati da Arzarello stamane), spesso ridotta al calcolo di qualche volume, con tecniche "ad hoc" che potrebbero avere senso solo in una rivisitazione storica dei concetti.
E deve, soprattutto, cambiare l'intreccio con le altre materie. La geometria è forse l'area della matematica su cui è più facile e significativo realizzare questi scambi. E la scelta del software da usare con i colleghi è decisiva al riguardo.
Altra cosa, ovvia, è la gratuità del software:  gli alunni devono poterlo scaricare e usare a casa.  Questo è un aspetto sempre più importante.

——————— (12) ———————

Gli esempi che abbiamo visto finora erano di "geometria dinamica", ma con geometria dinamica si intende, in genere, qualcosa di più specifico, spesso etichettato come interactive geometry software..  Ecco, per dare una prima idea, che cosa, ad esempio, si trova su WikiPedia:
Interactive geometry software:
computer programs which allow one to create and then manipulate geometric constructions, primarily in plane geometry. In most IGS, one starts construction by putting a few points and using them to define new objects such as lines, circles or other points. After some construction is done, one can move the points one started with and see how the construction changes.
Qui troviamo una banca ("parziale") del software di questo genere ("breve storia ...").
(chi voglia approfondimenti:
http://en.wikipedia.org/wiki/Interactive_geometry_software,
http://en.wikipedia.org/wiki/Category:Free_interactive_geometry_software,
http://directory.google.com/Top/Science/Math/Geometry,
http://www.dmoz.org/Science/Math/Geometry/Software)
Lascio la parola a Laura Parenti per riflessioni ed esempi su questi tipi di software.