I numeri complessi - Considerazioni didattiche
L'opportunità di dare un'impostazione nuova, graduale e
collegata con gli altri argomenti matematici ad un argomento non
facile da gestire e da far comprendere come quello dei numeri complessi
è stata messa a fuoco a partire da una valutazione critica
di come, in genere, esso è affrontato dai libri di testo:
l'argomento viene presentato introducendo
immediatamente l'unità immaginaria i,
senza motivazioni convincenti (si dice: «vogliamo trovare soluzioni per tutte le equazioni di secondo grado», ma perché farlo?), senza inquadramento storico e senza interpretazioni/rappresentazioni geometriche o collegamenti con altre aree matematiche;
vengono introdotte,
"brutalmente" sia le regole per operare con i numeri complessi che quelle per risolvere in generale le equazioni di secondo grado (se Δ < 0 ...);
anche nei casi di scuole in cui è presente l'insegnamento di altre materie che fanno un ampio uso dei numeri complessi, non vengono sfruttati i potenziali collegamenti con esse per motivarne l'introduzione o individuare contesti che ne facilitino la concettualizzazione.
Questa problematica rientra in quella più ampia
dell'insegnamento/apprendimento dell'algebra, che, spesso, viene presentata come un gioco (non per tutti divertente) in cui si deve operare con dei simboli rispettando un opportuno insieme di regole; a volte del simbolismo algebrico si perde anche l'aspetto "sintattico" (non vengono sviluppate abilità di passaggio da un linguaggio all'altro, di riflessione sulla struttura dei termini, ...).
Non solo, ma, spesso il modo in cui concetti e/o tecniche vengono introdotti o fatti usare sono all'origine delle difficoltà e degli errori degli studenti.
Queste considerazioni ci hanno portato a intrecciare lo sviluppo dell'argomento
numeri complessi sia a quello di altre aree
matematiche (geometria: trasformazioni
geometriche; trigonometria: formule di addizione/sottrazione; analisi: funzioni di variabile
complessa) sia all'uso del calcolatore per attività algebriche e grafiche, tenendo conto, da una parte, delle indicazioni dei nuovi programmi
e dall'altra della dinamicità/potenzialità che il calcolatore presenta: il computer permette
allo studente di produrre e, al contempo, di fruire di ciò che produce.
In questo modo abbiamo cercato di evitare che l'acquisizione delle conoscenze matematiche avvenga a compartimenti stagni, attraverso la memorizzazione di regole stereotipate e l'addestramento ad eseguire
meccanicamente esercizi; abbiamo cercato, invece, di curare soprattutto l'acquisizione di abilità e concetti
generali, e di preparare gli studenti ad impiegare "consapevolmente" particolari software matematici, delegando ad essi le parti più esecutive e
controllandone criticamente il comportamento.
Tenendo conto di tutto ciò
si è progettato per i numeri complessi un itinerario
didattico in cui si sono intrecciate:
attività da
svolgere su carta (lettura/comprensione di concetti e definizioni,
esercizi da svolgere direttamente sul foglio o riferendosi ad attività al calcolatore già svolte o simulate su carta);
attività da
svolgere al calcolatore, utilizzando il software, sottolineandone le potenzialità e i
limiti.
Il materiale riportato in questa voce può essere impiegato in 3ª o 4ª, in scuole in cui i numeri complessi vengono usati in altre discipline di tipo tecnologico (ad esempio in elettrotecnica, in cui, per altro, invece di i si usa j), o all'ultimo anno delle superiori (eventualmente in versione "ridotta"), anche per dare un senso alla comparsa della unità immaginaria in relazione all'uso del software.
Entrando nel merito dell'itinerario delineamone adesso gli aspetti principali, mettendone in evidenza le idee chiave culturali/didattiche.
• Si riprendono: le trasformazioni geometriche. In particolare si mette in evidenza la descrizione analitica di queste trasformazioni (traslazioni, trasformazioni di scala, rotazioni di multipli di 90°). Si pone quindi il problema di come rappresentare analiticamente una generica rotazione.
• Si introducono poi i numeri complessi per descrivere in un nuovo modo i punti del piano: introducendo l'unità immaginaria "i" come il versore dell'asse y; ai numeri complessi si dà, così, il significato di vettori del piano.
• In base a questi nuovi numeri si rivedono le trasformazioni geometriche di partenza: l'omotetia diventa z → z·k, k numero reale; la traslazione z → z+z0 e la rotazione di 90° z → z·i; quest'ultima definizione permette infine l'interpretazione geometrica della moltiplicazione per i e di scoprire che i·i non è altro che la rotazione di 90° del punto che rappresenta i sull'asse y, cioè è il punto che rappresenta -1 sull'asse x.
• Si vede infine che anche R è in grado di operare con i numeri complessi (sono proposti alcuni esercizi di verifica/confronto sulle operazioni con questi numeri).
• Si arriva quindi alla conclusione del problema iniziale cioè trovare una formulazione analitica delle rotazioni, scoprendo che un'applicazione del tipo z → z·z0 produce una roto-omotetia dove il fattore di scala della omotetia è pari al modulo del vettore z0 e la rotazione è pari alla direzione di esso.
• Si introducono le coordinate polari per descrivere in modo più facile il prodotto di due numeri complessi;
• Con l'utilizzo del software si congettura e verifica su molti esempi l'interpretazione polare della moltiplicazione tra numeri complessi per poi dedurre da essa le formule di addizione e sottrazione e la formalizzazione analitica delle rotazioni.
• Fin qui si è introdotto e sviluppato l'argomento numeri complessi , intrecciandolo con le altre aree matematiche quali : la geometria (sistemando e completando l'argomento trasformazioni geometriche , soffermandosi in particolare sulle rotazioni) e la trigonometria (interpretando polarmente la moltiplicazione tra numeri complessi si deducono le formule di addizione e sottrazione dalle formule delle rotazioni). Tutto ciò si è sviluppato intercalando nelle schede attività da svolgere sia su carta (esecuzione manuale di esercizi, comprensione e lettura di definizioni/concetti...) sia esclusivamente al calcolatore. Nel seguito si mostra come la sistemazione degli argomenti precedenti può avere inattese applicazioni matematiche e non. Si vedono, quindi, gli intrecci con l'analisi complessa; in particolare si introducono le trasformazioni conformi , funzioni a variabile complessa (aventi la caratteristica di conservare gli angoli di incidenza) che hanno notevole importanza in campi non matematici. Inoltre, grazie a queste trasformazioni, si dà un'interpretazione geometrica delle soluzioni complesse delle equazioni polinomiali.
• Alla fine si affrontano particolari problemi che scaturiscono nel tracciare i grafici di funzioni a variabile complessa con il software, si svolgono alcune riflessioni storiche sull'origine dei numeri complessi, si focalizza il teorema fondamentale dell'algebra e si giunge ad accennare alle radici dell'unità e alla loro visualizzazione come vertici di un poligono regolare.
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L'impostazione della scheda è in gran parte stata ispirata al famoso saggio Complex Analysis di Lipman Bers
(vedi) presente nel volume The Mathematical Sciences (Cambridge, 1969) edito
dal Consiglio Nazionale delle Ricerche americano (e poi tradotto dall'Unione Matematica Italiana, nel 1973), e curato dal Comitato per la Promozione della Ricerca
nelle Scienze Matematiche presieduto dallo stesso Bers: vedi qui.
Alcuni spunti sono stati tratti dal volume Funzioni di variabile complessa di Vinicio Villani (Edizioni Scientifiche, Genova, 1971).