I concetti di funzione e di risoluzione di un'equazione - Considerazioni didattiche

Centrali sono le voci Funzione 1 e Risoluzione di equazioni 1 e, poi, Funzione 2, Risoluzione di equazioni 2 e Continuità, che danno una prima sistemazione ai concetti più importanti della matematica, e che si intrecciano con quasi tutte le altre voci presenti negli Oggetti Matematici.

Evidentemente si tratta di concetti che sono a monte del concetto di polinomio e sorprende che in molti libri di testo questo sia introdotto prima (sul modo, purtroppo buffo, in cui avviene questa introduzione ci si sofferma nella specifica voce di questa "guida").

Le prime funzioni che i ragazzi incontrano esplicitamente sono, all'inizio della scuola elementare, le quattro operazioni (a due input) e gli incrementi e decrementi unitari e il cambio segno (ad un input).  Ma alla scuola elementare incontrano anche funzioni con quantità qualunque di input, come il massimo e il minimo di un insieme di dati, e funzioni a cui non corrisponde un procedimento di calcolo (per esempio la altezza o il peso di una persona, o la popolazione di una città, al passare del tempo, o tariffari di vario genere, in cui il valore monetario è espresso in funzione di varie grandezze). Incontrano anche funzioni a più output (la divisone con resto, per esempio, è una funzione a due input e due output).
Del resto sono funzioni anche gli istogrammi a crocette, che possono essere affrontati anche prima della scuola elementare, nella scuola dell'infanzia, come quelli presenti qui: ad ogni modo di arrivare a scuola viene associato il numero (rappresentato da una colonna di di crocette) degli alunni che lo utilizza, ad ogni tipo di località delle vacanze viene associato il numero degli alunni che le ha passate in quel modo, ad ogni condizione del tempo viene associato il numero dei giorni del mese in cui il tempo è stato tale, …

È evidente che questi concetti hanno poco a che fare con le definizioni con cui essi vengono introdotti in molti libri di testo: una funzione è un insieme di coppie ordinate tale che …; gli autori di tali libri hanno orecchiato definizioni come questa che si fanno nei corsi universitari di algebra, senza rendersi conto che per padroneggiarle occorre disporre delle tecniche, non semplici, per rappresentare una sequenza di input ed una sequenza di output con una opportuna coppia di oggetti matematici. Occorre costruire, in modo opportuno, la possibilità e l'opportunità di presentare le funzioni come insiemi di coppie "input, output":  vedi qui (e qui).  Per altro, non è possibile individuare il dominio di una qualunque funzione (vedi).
Ricordiamo che il nome "operazione" è un appellativo usato per indicare alcune funzioni, in genere ad 1 o 2 input, ma non solo. Non esiste una "definizione" del concetto di operazione.

Val la pena ricordare che le funzioni erano introdotte nella scuola media inferiore italiana da Emma Castelnuovo subito dopo la seconda guerra mondiale e che in molti libri e articoli sosteneva che esse vanno introdotte sin dai primi anni di scuola: "Si chiederà: quando trattare questo argomento? come introdurre il concetto di funzione?  Sono forse troppo decisa e rivoluzionaria se a questa domanda rispondo da sempre? Non è che intendo che a questo argomento si debba dedicare un certo numero di lezioni, ma esso deve essere introdotto così, insensibilmente, a proposito di una questione o dell'altra, perché esso entra in ogni questione." (vedi qui)  Chi ritiene che debba essere introdotto solo nella scuola superiore, magari neanche nel primo anno, è solo "ignorante" (di "matematica", si intende).

È importante (come richiamato in Funzione 1) che gli alunni consolidino il concetto facendo riferimento a vari modi di esprimerlo o rappresentarlo (numerici, grafici, algebrici, a parole, …), e consolidando, gradualmente, e quando è possibile, l'intreccio tra questi modi. È fondamentale che gli alunni riprendano subito e consolidino il significato di radice quadrata (che non può essere altro che definita subito facendo riferimento ai numeri reali, intesi e introdotti come numeri decimali, i numeri che si usano e il cui significato è da riprendere dalla scuola media: i numeri razionali - non le frazioni - ovviamente devono essere introdotti dopo, come sottostruttura dei numeri reali, che gode di particolari proprietà algebriche).
Gli alunni devono poi essere abituati si da subito a rappresentare grafici di funzioni continue e discontinue, senza introdurre termini specifici per distinguerle, col fine di evitare che gli alunni tendano a indentificare le funzioni con quelle continue (vedi, per avere un'idea, questo esercizio e questo).
È, poi, decisivo, ai nostri giorni, l'uso delle calcolatrici tascabili, e quindi quello del computer, per i quali rinviamo alle specifiche guide.

È bene indicare le variabili in vari modi, come accade nelle vita di tutti i giorni. Anche gli esempi ripresi in Risoluzione di equazioni 1 fanno riferimento a questi usi, a cui deve seguire, poi, gradualmente, l'esercizio e il consolidamento astratto, che si può fare su variabili con nomi che prescindono dai vari contesti applicativi. Ed è bene rendersi conto, subito, che una formula può essere trasformata esprimendo una variabile in funzione di altre in modi diversi, a seconda delle esigenze. È poi fondamentale fare riferimento al concetto di funzione inversa, come strumento per smontare/trasformare equazioni.

Si noti l'importanza, soprattutto nelle fase iniziale, di usare modi informali di esprimersi e, quando si ricorre ad espressioni più formali o formalizzate, di farlo con un certo rigore: certi usi scorretti appresi all'inizio sono fonte/alimento di profondi misconcetti che, poi, è difficile smontare. Ad esempio è bene fare osservare che se F è una funzione F(x) (o F(a) o …) non lo è, ma rappresenta un termine, ossia un numero. Questa ed altre osservazioni analoghe sono esplicitamente fatte all'interno di queste voci degli Oggetti Matematici.

Le riflessioni sul concetto di funzione ed equazione sono spesso intrecciata all'uso di software, per il calcolo e per la rappresentazione grafica; se non si dispone di un'aula computer si possono fare delle presentazioni in aula su come lo si può usare, lasciando poi agli alunni un uso a casa dello stesso. Chi non possa usare l'aula computer ma disponga di calcolatrici o pocket computer con schermo grafico può svolgere attività analoghe utilizzando i programmi di grafica incorporati in questi mezzi di calcolo; altrimenti: CT per i calcoli e … carta millimetrata e matita!.  Carta e penna sono comunque indispensabili anche per usare il software proposto: sia per annotare dati, espressioni, …, sia per prendere appunti mentre si "ragiona" su come usarlo (individuazione di strategie, scelta di comandi e di dati da introdurre, …): i programmi sono solo un "sussidio", anche se a volte indispensabile.

Occorre illustrare o sfruttare didatticamente l'analogia delle schematizzazioni della composizione di funzioni con quelle simili usate in ambito statistico e di programmazione.

Va introdotto gradualmente, senza inizialmente approfondirne i limiti, il procedimento di "applicare a entrambi i membri una stessa funzione" per risolvere equazioni. Esso viene affrontato gradualmente, consolidando il concetto di dominio di una funzione e l'importanza di considerare gli intervalli in cui possono variare le grandezze che (modellizzando con equazioni una situazione problematica) vengono rappresentate con le variabili, e introducendo (in qualche forma) il concetto di iniettività (che viene inizialmente accennato in relazione all'uso delle calcolatrici tascabili: relazioni tra il tasto di radice quadrata e il tasto di elevamento al quadrato). Questi concetti vengono, poi, ripresi e consolidati nelle voci Funzione 2 e Risoluzione di equazioni 2.

In questo ambito viene introdotto il concetto Continuità, su cui ci si sofferma in una specifica voce di questa "guida".

Nelle voci Funzione 2 e Risoluzione di equazioni 2 vengono introdotti tutti gli elementi generali necessari per studiare, ad un primo livello, le funzioni ad un input ed un output e la risoluzione di equazioni, senza e con parametri, a partire dai concetti e dalle tecniche avviate nelle voci "1" e in altre voci intermedie. Viene anche accennato all'uso del software di calcolo simbolico. Il motivo è, soprattutto, quello di ridurre (nella testa degli alunni) l'importanza degli aspetti calcolistici: essere bravi e veloci a fare i calcoli non è né necessario né sufficiente per essere "bravi" in matematica.

Tra gli esempi a cui puoi accedere dalla sezione puoi trovare un collegamento alle Schede di Lavoro e tra queste a quelle del progetto MaCoSa e, in particolare, dell'unità didattica "Le statistiche", che mettono a disposizione materiale utilizzabile, direttamente o opportunamente rielaborato, per organizzare attività didattiche che coinvolgono l'introduzione e l'uso delle funzioni. Molti esempi, a vari livelli di difficoltà, sono presenti anche nella sezione esercizi.  Come già osservato, negli Oggetti Matematici sono presenti vari programmi che consentono di approfondire graficamente ed algebricamente lo studio delle funzioni e delle equazioni.

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