L'integrazione - Considerazioni didattiche
Il concetto di Integrazione, nell'impostazione degli Oggetti Matematici, viene introdotto dopo quello della derivazione (potrebbe essere introdotto anche prima di esso, limitandosi alla integrazione definita, ma abbiamo preferito introdurre presto anche l'integrazione indefinita e il collegamento tra i due concetti).
Nell'insegnamento, il tema, ovviamente, come quello della derivazione, va introdotto in classe terza in quanto indispensabile per le attività di matematizzazione dei fenomeni fisici previste per tale classe, nonché per l'avvio del calcolo propoabilistico nel caso continuo. La voce degli Oggetti Matematici spezza il tema in due parti, la seconda delle quali può essere affrontata nella classe quarta, se viene rinviata ad essa lo studio delle funzioni esponenziale e logaritmica.
Nei paragrafi iniziali sono presentati vari problemi che possono essere, in alternativa, dei punti di partenza per l'introduzione dell'argomento.
Nella successiva voce Calcolo degli integrali (che può essere affrontata in quarta o quinta, a seconda delle classi) sono presentate alcune tecniche di integrazione indefinita. I paragrafi sulla "integrazione per sostituzione trigonometrica" e sulla "integrazione delle funzioni razionali" possono essere considerati opzionali nella scuola secondaria superiore. Utile per tutti è invece affontare la voce Altri usi degli integrali (esclusa eventualmente la parte sulle lunghezze di curve).
Alcune osservazioni:
− l'integrazione indefinita viene denominata inizialmente "antiderivazione"; solo dopo la messa a fuoco del teorema
fondamentale dell'analisi ha senso estendere il termine "integrale" alle antiderivate;
− occorre mettere a fuoco l'uso "strano" delle costanti di integrazione (è spiegato nella "2ª parte" della scheda
sul "calcolo degli integrali");
− occorre sottolineare il ruolo delle variabili mute (∫f è la stessa cosa di ∫f(x)dx o di ∫f(u)du:
le variabili mute servono nel caso in cui si esplicita f: se f(x) = x/2+1 e voglio esplicitare la funzione, devo usare una variabile muta,
e scrivere
− la cosa precedente è particolarmente chiara quando si ha a che fare con gli integrali definiti; con gli integrali
indefiniti, quando si usa l'integrazione per sostituzione, in genere le variabili non sono considerate "mute";
in "se u=g(x) allora ∫f(g(x))g'(x)dx lo riconduco a ∫f(u)du dove poi devo risostituire g(x) ad u" intendo
∫f(u)du ben diverso da ∫f(x)dx; basta usare questo procedimento come un "trucco", senza soffermarsi troppo su di esso
(la cosa dovrebbe, invece, essere affrontata esplicitamente in un corso di analisi universitario);
− l'integrazione considerata è quella secondo Riemann (vedi qui per approfondimenti).
Nell'eserciziario, nella parte 8 e nelle successive dell'argomento "funzioni", sono presenti molti esercizi su questo tema.
Tra gli esempi a cui puoi accedere dalla sezione
puoi trovare un collegamento alle Schede di Lavoro e, tra quelle per la classe 3ª,
ne trovi una rivolta direttamente al tema "Gli integrali"; esso è approndito nella scheda
"Le funzioni esponenziale e logaritmo", prevista per l'inzio della classe 4ª.