Esprimi, come preferisci, ma in modo comprensibile ed esauriente, come trasformare una figura nell'altra, o nelle altre, nei seguenti 4 casi (i sistemi sono monometrici). Come vengono modificate le aree nei vari casi?

La illustrazione contiene una figura (una qualunque delle due) trasformata nell'altra mediante un ribaltamento rispetto all'asse orizzontale. Indicando con x e y ascisse e ordinate, e con x' e y' quelle della figura trasformata, possiamo rappresentare la trasformazione con le equazioni y' = −y e x' = x.
Nel caso della illustrazione è chiaro che siamo di fronte a due figure una simmetrica dell'altra rispetto a una retta opportunamente inclinata. Cerchiamo di individuare, approssimativamente, tale retta. Se tracciamo l'asse di simmetria (come asse dei segmenti che congiungono un punto al suo corrispondente) e sovrapponiamo un goniometro troviamo che l'asse è, con buona approssimazione, la retta passante per O con inclinazione di 30° (ossia la retta y = tan(30°)x = x/√3). Sarebbe possibile (ma un po' più complesso e meno significativo) descrivere la trasformazione mediante una coppia di equazioni.

Nella illustrazione capiamo, e possiamo evidenziare con le semirette tracciate sopra, che si tratta di ingrandimenti/riduzioni, ovvero di tarsformazioni di scala momometriche. Fecendo riferimento a come si trasforma un particolare, ad es. la punta delle pinna in basso a sinistra o quella in alto della coda, possiamo osservare che passando dal pesce più piccolo via via al più grosso le coordinate vengono man mano raddoppiate. Se indichiamo con x e y le coordinate di un punto del pesce più piccolo, con x' e y' quelle del corrispondente punto del pesce intermedio, e con x" e y" quelle del punto corrispondente del pesce grosso, abbiamo x' = 2x, y' = 2y,  y' = y2/2, x' = x"/2,  x" = 4x, y" = 4y,  y" = 2y', x" = 2x',  y = y'/2, x = x'/2,  y = y"/4, x = x"/4.
Nel caso della illustrazione abbiamo che vengono ingrandite, e più precisamente moltiplicate per 2, solo le ascisse: la trasfomazione dal pesce piccolo al pesce grosso è descrivibile come x' = 2x, y'=x. Quella dal grande al piccolo con x'=x/2, y'=y.
Nel caso della ultima illustrazione abbiamo che vengono ingrandite, e più precisamente moltiplicate per 2, le ascisse; le ordinate vengono invece moltiplicate per 0.6, come si capisce dalla posizione più alta del pesce, che passa da 10 a 6, e da quella più bassa, che passa da 4 a 2: la trasfomazione dal pesce a sinistra a quello a destra è descrivibile come x' = 2x, y'=y·0.6. Quella opposta con x' = x/2, y' = y/0.6 = 5y/3.

Le prime due trasformazioni non modificano le aree. La terza le moltiplica per un fattore che è il quadrato della scala lineare. La terza le moltiplica per il fattore per cui vengono moltiplicate le ascisse. La terza, in un verso le moltiplica per 2·0.6 = 1.2, nel verso opposto per 1/2·5/3, ossia per 5/6, che è il reciproco di 1.2 (1/1.2 = 10/12 = 5/6).

Per altri commenti: Trasformazioni geometriche neGli Oggetti Matematici

Nel caso si volessero preparare esercizi analoghi ecco come si possono realizzare figure simili con R (vedi qui):

... o con lo script online "disegnare(4)": vedi (leggi l'help per costruire questa figura).