Approssimazioni

  Per approssimare un numero X alla cifra di posto n si può procedere:

– per troncamento, cioè sostituire con 0 tutte le cifre successive a quella di posto n, oppure:

– scelta del numero più vicino, cioè prendere il numero troncato alla cifra di posto n che è più vicino a X; questo secondo procedimento viene di solito chiamato arrotondamento.

In pratica per arrotondare X alla cifra di posto n:

– se la cifra immediatamente a destra è
	1, 2, 3 o 4		si sostituiscono con 0 tutte le cifre a destra del posto n
– se è	5, 6, 7, 8 o 9		si aumenta di uno la cifra di posto n e si sostituiscono con 0 tutte le cifre alla sua destra

Sotto sono raffigurate due situazioni (la 1^a – approssimazione ai decimi – e la 3^a – approssimazione agli interi) in cui troncamento e arrotondamento sono diversi e una (la 2^a – approssimazione alle centinaia) in cui coincidono.

Nota. Se voglio arrotondare 135 alle decine trovo sia 130 che 140 come "numeri più vicini". Per convenzione si sceglie 140; ciò corrisponde alla regola pratica sopra descritta: la cifra a destra a quella delle decine è 5. Analogamente l'arrotondamento ai decimi di 2.65 è 2.7 in quanto la cifra a destra a quella dei decimi è 5, anche se 2.65 non è più vicino a 2.7 che a 2.6.

  Si usa anche l'espressione approssimazione a n cifre significative per intendere l'approssimazione alla n-esima cifra iniziale (contata a partire dalla prima cifra diversa da 0). Ad esempio l'arrotondamento di 3.275… a 2 cifre significative è 3.3, il troncamento di 4326 a 2 cifre significative è 4300, l'arrotondamento di 139.61… a 3 cifre significative è 140, l'arrotondamento di 0.0298… a 1 cifra significativa è 0.03.

Nota 1. Molti impiegano la parola arrotondamento per indicare una qualunque approssimazione con un numero inferiore di cifre; noi in genere useremo la parola "arrotondamento" nel significato di "approssimazione al numero più vicino".

Nota 2. È cosa commune incorrere nell'errore di interpretare "approssimazione a N cifre" come "approssimazione alla Nª cifra frazionaria", ossia a considerare ad es. come troncamento a 2 cifre di 3.468 il numero 3.46 invece del numero 3.4. La dizione corretta per intendere 3.46 sarebbe "troncamento alla seconda cifra frazionaria" o "ai centesimi" o "alla cifra di posto -2".  Anche con "troncamento a 2 cifre decimali di 3.468" si dovrebbe intendere 3.4, non 3.46, come invece spesso accade nel linguaggio comune; per evitare ambiguità si potrebbe eventualmente usare "trocamento al secondo posto decimale dopo il punto" (o "dopo la virgola"). In ambito scientifico e tecnologico le misure sono in genere espresse in notazione scientifica e non avrebbe molto senso intendere i decimali come cifre frazionarie: il loro "valore" dipende dall'ordine di grandezza della misura, ossia dalla potenza di 10 della notazione scientifica; in tali ambiti si usano, eventualmente, le dizioni "approssimazione ai millimtetri", "approssimazione ai decigrammi", …; poi, in ambito tecnologico, le cifre frazionarie a volte non rappresentano decimi, centesimi, …; infatti spesso sono utilizzati sistemi di numerazione non di tipo decimale (la cosa verrà ripresa più avanti  basi di rapprs. dei numeri). È corretto parlare di approssimazione a N decimali intendendo riferirsi ad un'approssimazione alla N-esima cifra dopo il punto quando si usa la notazione esponenziale normalizzata.

  L'approssimazione per troncamento di un numero positivo è una approssimazione per difetto (cioè un numero più piccolo del valore originale). Un arrotondamento, invece, può dar luogo sia a un'approssimazione per difetto che a un'approssimazione per eccesso (cioè a un numero maggiore del dato originale).

A volte conviene utilizzare approssimazioni per eccesso. Ad esempio, mentre se si deve suddividere una somma in parti uguali il risultato della divisione viene approssimato per difetto (10 mila lire può essere suddiviso tra 3 persone dando 3330 lire a ciascuna; le 10 lire che avanzano possono essere tirate a sorte), per suddividere una spesa in parti uguali occorre procedere per eccesso (per formare 10 mila lire tre persone devono mettere a testa 3400 lire o 3350 lire o 3340 lire o 3335 lire, cioè, in ogni caso approssimazioni per eccesso di 3333.33…, cioè del risultato esatto di 10000/3).

Esercizio:  testo   e   soluzione

  Approssimando i dati si ottengono valori più leggibili ma, in compenso, si perdono delle informazioni.

Ad esempio se approssimo il rapporto tra 3420 e 124205, cioè 2.753…%, con 3% e poi calcolo il 3% di 124205 non riottengo 3420 ma 3726.15. Dalla percentuale 3% e dal totale 124205 posso concludere solo che il dato originale era circa 3700, con qualche centinaia in più o in meno.

La somma delle parti percentuali 63%, 3%, 14%, 6%, 3%, 12% che rappresentano come un totale si ripartisce in 6 voci fa 101% invece di 100%. Anche questo è una conseguenza del fatto che le percentuali sono state arrotondate: le parti frazionarie che sono state tolte o aggiunte per fare gli arrotondamenti hanno dato luogo complessivamente alla aggiunta di 1 intero in più.

Problemi analoghi sorgono impiegando la calcolatrice o altri mezzi di calcolo automatici: i numeri vengono approssimati con una quantità fissata di cifre [ Calcolatrice tascabile ], per cui si possono ottenere risultati finali che si discostano, a volte anche notevolmente, dai risultati "esatti".

  Le approssimazioni sono utili anche per fare rapidamente (senza calcolatrice, a mano o a mente) calcoli di cui non ci interessi il risultato esatto, ma solo una sua stima. Ecco alcuni esempi di calcolo approssimato, svolto arrotondando i numeri a 1 o 2 cifre significative ed eseguendo i calcoli sui valori arrotondati.

2681  ≈  3000  ≈  30  ≈ 7 —— —— — 354 400 4

89325·714213 ≈ 9·104·7·105= 63·109 ≈ 6·1010

1860  ≈  2·103  =  20·102  = 5·10-3 = 0.005 ——— ——— ——— 376891 4·105 4·105

15384·187 ≈ 15000·200 = 3000000

  Sono particolarmente usate, per motivi che ti si chiariranno via via, le funzioni di troncamento e di arrotondamento agli interi. Esse sono indicate in vari modi (int o floor;  fix o trunc; round o cint;  ceil o ceiling), con diversi significati, che puoi trovare  qui.

Nella figura a lato sono rappresentati il tachimetro e il contachilometri di un'automobile. La velocità dell'auto è compresa tra 48 e 49 km/h. Siccome la lancetta ha superato la metà tra le due tacche posso dire che la velocità dell'auto è 49 km/h: questo è l'arrotondamento a due cifre significative della velocità dell'auto; posso anche dire che questo è l'arrotondamento ai chilometri all'ora. L'auto ha percorso in tutto 87324 km e un tratto di strada inferiore a 500 m; l'arrotondamento ai chilometri è quindi 87324.

Esercizi:

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