Pendenza

#1  Per precisare quantitativamente il confronto tra salite (o discese) si può caratterizzare ogni tratto di strada indicando di quanti metri (o centimetri, millimetri, …) esso si innalza ogni 100 metri (o centimetri, millimetri, …) di avanzamento in orizzontale.

    Ad esempio il cartello stradale riprodotto sotto segnala una discesa pericolosa con pendenza dell'8% (8 per cento): la strada è inclinata come il triangolo disegnato a destra, che ha la base lunga 100 unità di misura e è alto 8 unità di misura. La pendenza è, infatti, il rapporto tra spostamento verticale e spostamento orizzontale. Questo rapporto se espresso in forma percentuale mi dice di quante unità (metri o cm o …) in verticale ci si sposta se si avanza in orizzontale di 100 unità.  In questo caso la pendenza è: 8/100 = 0.08 = 8 centesimi = 8% (spostandomi orizzontalmente di 100 metri mi sposto verticalmente di 8).
    Se percorro un tratto di discesa che corrisponde ad uno spostamento orizzontale di 25 metri mi abbasso di 8 centesimi di 25 metri, cioè di 25 · 0.08 = 2 metri

    Nel caso delle pendenze stradali, che possono arrivare a valori di poco superiori al 10%, non c’è grande differenza tra lunghezza della strada percorsa e avanzamento orizzontale. Ad esempio nel caso sopra raffigurato la base del triangolo e il lato obliquo hanno lunghezza pressoché eguale: se la base misura 100 mm il lato obliquo misura 100.3 mm.

#2  Il concetto di pendenza viene usato anche per confrontare l'andamento dei grafici. In questo caso si fa il rapporto tra variazione dell'ordinata e variazione dell'ascissa. Se l'ascissa e l'ordinata vengono indicate con le variabili x e y, possiamo scrivere: [ proporzionalità ]
           variazione di y
pendenza = ———————————————
           variazione di x

Nella figura sottostante a sinistra sono riprodotti i grafici di quattro funzioni F, G, H e K i cui grafici hanno pendenza pari a, rispettivamente, 0.5 (se x varia di 4, y varia di 4 · 0.5 = 2), 1 (se x varia di 4 anche y varia di 4), 1.5 (se x varia di 4, y varia di 4 · 1.5 = 6), 2 (se x varia di 4, y varia di 4 · 2 = 8).

    Il grafico di G ha pendenza 1, cioè 100%: avanzamento orizzontale e avanzamento verticale coincidono.
    Mentre nel caso della pendenza stradale si parla, ad es., di pendenza dell'8% indistintamente per una salita come per una discesa, nel caso dei grafici si distingue il caso dei grafici "crescenti" da quello dei grafici descrescenti, ai quali si associa una pendenza negativa: proporzionalità.

#3  Nella figura a destra sono stati tracciati gli stessi grafici, ma con una diversa scala verticale.
    A sinistra è stato impiegato un sistema di riferimento monometrico , cioè sui cui assi è stata scelta la stessa "unità di misura": la variazione di una unità sull'asse x e sull'asse y corrispondono a tratti lunghi uguali.
    A destra, invece, i grafici appaiono contratti (ristretti, rimpiccioliti) lungo la direzione verticale; infatti sull'asse y si è scelta un'unità di misura più piccola di quella scelta sull'asse x. Il grafico di G appare con una pendenza inferiore rispetto alla figura sinistra.
    Quando il sistema di riferimento non è monometrico la pendenza calcolata come rapporto tra variazione di y e variazione di x non coincide con la "pendenza stradale", cioè con il rapporto tra spostamento verticale e spostamento orizzontale quando gli spostamenti sono misurati in metri o in un'altra unità di misura fisica (invece che espressi mediante la variazione delle coordinate).

Esercizi:  testo 1  e  soluzione,   testo 2  e  soluzione,   testo 3  e  soluzione.

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