Variazione

#1  Il termine variazione viene impiegato per indicare la differenza tra due valori assunti da una variabile, sia che essa rappresenti una grandezza fisica, economica, …, sia che essa sia impiegata in astratto, ad esempio per descrivere una relazione tra numeri:

Ad esempio, indicata con P la popolazione (numero di abitanti) di una cittadina, se da un anno all'altro si passa da P = 3268 a = 3321, possiamo dire che P è variata di 53 (321 - 268 = 53), o che ha avuto un incremento di 53. Se invece si passa a P = 3226 possiamo dire che P è variata di - 42 (26 - 68 = - 42), o che ha avuto un decremento di 42.

Se considero la relazione y = x · 3 + 1 (rappresentata graficamente a fianco), dicendo che la variazione di y è tripla della variazione di x intendo dire che comunque dia una coppia di numeri in input [ad es. 1 e 2] alla funzione x → x · 3 + 1 ottengo come output due numeri [in questo caso 4 e 7] che differiscono il triplo di quanto differivano gli input.

#2  Per valutare il cambiamento in un certo fenomeno spesso invece della variazione (o variazione assoluta) tra dato iniziale e dato finale (cioè  dato finale – dato iniziale) si ricorre alla variazione percentuale, cioè alla variazione descritta in centesimi del dato iniziale. Quando la variazione è positiva si usa anche il termine aumento (o incremento, come nell'esempio precedente), quando è negativa si parla di diminuzione (o decremento).

Per calcolare la variazione percentuale occorre prima trovare il rapporto percentuale tra dato finale e dato iniziale e, poi, quanti centesimi in più (nel caso di aumento) o in meno (nel caso di diminuzione) vi sono rispetto al 100%. In formule:


                       dato finale
rapporto percentuale = ———————————— ·100
                       dato inizile
 

variazione percentuale = rapporto percentuale - 100 

#3  Ad esempio per determinare con la calcolatrice la variazione percentuale della popolazione della cittadina di cui sopra da un anno (3268 ab.) all'altro (3321 ab.) possiamo battere:
3321 3268 .  Otteniamo:
1.01621… = 101.621… centesimi = [arrotondando] 101.6 %    aumento dell'1.6%

La stessa variazione assoluta (53 abitanti in più) in una cittadina meno popolata, che da un anno all'altro sia passata da 1268 a 1321 abitanti, dà luogo a una variazione percentuale maggiore:
    1321/1268 = 1.0417… = 104.2%    aumento del 4.2%

Per trovare lo sconto percentuale corrispondente a un'offerta "3 per 2", cioè per trovare la variazione percentuale tra 2 e 3, possiamo battere: 2 3  Otteniamo:
0.666… = 66.6…centesimi = [arrotondando] 67 %  diminuzione del 33%
[infatti 67 - 100 = -33]

#4  Nota 1. Se il partito A passa dal 18.4% dei voti al 17.1% non è corretto dire che il consenso di A è calato solo dell’1.3 per cento. Infatti la variazione da 18.4 a 17.1 è -1.3 ma:

17.1/18.4 = 0.9293… = 92.9%    diminuzione del 7.1%

Si può, invece, dire che A ha perso 1.3 punti percentuali.

Problemi analoghi sorgono quando si confrontano dei numeri indici.

Ad esempio se considero i numeri indici dei record di salto in alto femminile prendendo come anno base il 1932, per descrivere il passaggio dal numero indice 104.2 (1952) al numero indice 112.7 (1960) non posso parlare di un aumento dell’8.5%, bensì di un aumento di 8.5 punti percentuali (l'aumento percentuale è invece 8.1%: 186/172 = 1.0813… = 108.1%     aumento dell'8.1%)

#5  Nota 2. La variazione percentuale complessiva corrispondente a due successive variazioni percentuali non è pari alla somma di esse ma è pari al prodotto dei corrispondenti fattori moltiplicativi: è come comporre due trasformazioni di scala.

                                            
x  x·(1+10/100)  x·(1+10/100)·(1+20/100)

                                        = x·1.1·1.2 = x·1.32

x  x·(1+32/100) = x·1.32

x  x·(1+30/100) = x·1.3

#6  Nota 3. Non sempre la variazione percentuale è più espressiva di quella assoluta: dire che i bocciati all'esame di maturità nella scuola X sono aumentati del 50% o diminuiti del 50% rispetto all'anno scorso quando sono passati da 2 a 3 o da 2 a 1 ingigantisce il fenomeno (ogni cambiamento dà luogo a una variazione almeno del 50%). Assai diverso sarebbe il caso in cui i bocciati fossero passati da 20 a 30 o da 20 a 10.  Per altri limiti: esempio.

#7  Nota 4. Quando si compongono più variazioni percentuali successive o altre trasformazioni analoghe (esprimibili mediante la moltiplicazione per un numero: tassi di aumento, scale di riduzione, rendimenti percentuali di trasformatori elettrici, …) a volte si considera la variazione percentuale media.   In questi casi essa non indica la media aritmetica delle varie variazioni che si sono succedute:  il consumo medio di latte tra 3 persone lo si trova facendo la media aritmetica in quanto essa corrisponde alla quantità di latte che se ciascuno dei 3 consumasse darebbe luogo allo stesso consumo complessivo,  nel caso di più variazioni percentuali se al posto di esse mettessi la loro media artimetica, per quanto visto alla nota 2, non otterrei in generale la stessa variazione complessiva (moltiplicare per 110% e poi per 120% dà luogo a una moltiplicazione per 132%, mentre moltplicare due volte per 115% - media aritmetica di 110% e 120% - equivale a moltiplicare per 1.15·1.15 = 1.3225 = 132.25%).
    Se le variazioni percentuali successive sono n, la variazione percentuale media è quel valore che sostituito a ciascuna della n variazioni dà luogo alla stessa variazione complessiva.
    Nel caso di una variazione del 10% e una del 20%, il loro effetto è una moltiplicazione per 1.10·1.20 = 1.32, che equivale a due moltiplicazioni per √1.32 = 1.1489…; quindi la variazione percentuale media è 14.89…%.  Nel caso di n variazioni relative p1%, p2%, …, pn%, il fattore moltiplicativo medio è il numero che elevato alla n eguaglia (1+p1%)·(1+p2%)·…·(1+pn%), ossia la radice n-esima di questo numero.
    Analogamente, di fronte a tre riduzioni con fattori di scala 90%, 70% e 85%, la moltiplicazione per 0.9·0.7·0.85, ossia per 0.5355, equivale a tre moltiplicazioni per 3√0.5355 = 0.8120569…: possiamo prendere come scala di riduzione media 81.2057%.
    Dati n numeri x1, x2, … xn, il numero n√(x1·x2·…·xn) viene chiamato loro media geometrica (l'aggettivo "geometrica" richiama il fatto che, nel caso n =2, possiamo interpretarla geometricamente come il lato del quadrato che ha la stessa area del rettangolo di dimensioni x1 e x2). Quindi il fattore moltiplicativo medio di una successione di fattori moltiplicativi è la loro media geometrica. Un esempio.

Esercizi:

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