L'insegn. della geom. nella sc. sec. sup.

Da L'insegnamento della matematica e delle scienze integrate, vol. 18 B, n.2, 1995

L'INSEGNAMENTO DELLA GEOMETRIA NELLA
SCUOLA SECONDARIA SUPERIORE – 1^a parte

Arturo Bosco, Carlo Dapueto, Maria Teresa Gaggero, Carlo Mortola, Gabriella Tiragallo
Nucleo di Ricerca Didattica MaCoSa
c/o Dipartimento di Matematica dell'Università di Genova

Summary
In the 1st part of this paper we present the questions we have put to the partecipants in a refrescher course (for secondary school teachers) on Geometry teaching. The questions have the aim of pointing out and clarifying some cultural and didactic aspects we think basic for planning curricula and activities on this subject.
In the 2nd part we discuss the questions and some problems related to them.

    Nel 1993 il nucleo di ricerca didattica MaCoSa ha promosso un corso di aggiornamento sull'insegnamento della geometria nella scuola secondaria superiore. La preparazione del corso è stata curata dal gruppo di lavoro che si sta occupando della progettazione delle unità didattiche riferite ai temi geometrici.
     Gli insegnanti che intendevano partecipare al corso dovevano ritirare una settimana prima dell'inizio di esso un fascicolo in cui erano proposti alcuni quesiti su cui dovevano riflettere e la cui discussione è poi stata impiegata come canovaccio per la conduzione del corso. In questo articolo riportiamo il materiale impiegato per il corso, con qualche taglio e alcune piccole modifiche. Per dare natura "operativa" all'articolo, lo abbiamo spezzato in due parti.
     In questa 1^a parte riportiamo i quesiti. Nella 2^a parte, che verrà pubblicata successivamente, verranno analizzate le questioni sollevate dai quesiti stessi.
     I quesiti verranno utilizzati anche come base per il gruppo di lavoro sull'insegnamento della geometria che condurremo nell'ambito del 17° Convegno dell'U.M.I. sull'insegnamento della matematica.

Q4     In vari libri di testo i criteri di eguaglianza per i triangoli vengono introdotti nel modo seguente.
     In capitoli o paragrafi introduttivi sulla natura della geometria si spiega che tutte le proposizioni devono essere dimostrate a partire dagli assiomi e che tutti i concetti devono essere definiti a partire dai concetti primitivi, il cui significato è caratterizzato implicitamente dagli assiomi. Tra i concetti primitivi si pongono quelli di punto, retta, piano e movimento rigido. Vengono definite uguali due figure quando esiste un movimento che porta una di esse a coincidere punto per punto con l'altra. Come postulato relativo al movimento si pone solo quello che l'eguaglianza così definita è una relazione di equivalenza.
     Più avanti si trovano dimostrazioni del 1° criterio di eguaglianza dei triangoli sintetizzabili così:

(1)   Pierino, un po' cocciuto e senza un grande feeling con l'insegnante di matematica, che ha adottato un libro del tipo sopra descritto, non capisce a che serve dimostrare l'eguaglianza di due figure che sono evidentemente uguali.
(2)   Poi, gli sembra che qualcosa non torni nel ragionamento condotto dal libro, ma non riesce a precisare meglio questa sensazione.
(3)   Infine, quando si trova a dover studiare il 3° criterio di eguaglianza, alla cui dimostrazione il libro dedica quasi due facciate, perde ogni fiducia, non sa se in sé o nella matematica: perché tanti discorsi quando era facile procedere con qualche "movimento" come nel caso del 1° criterio?
     Discuti (1), (2) e (3).

Questa dimostrazione non può essere corretta poiché non si usa l'ipotesi che RS e PQ sono parallele. Quale errore ha commesso Gigi?

Pierino, invece, non riesce a capire dove è l'errore nella seguente dimostrazione che 25=24, che ha trovato in un libretto di giochi matematici:
scompongo un quadrato di lato 5 in due trapezi rettangoli uguali e in due triangoli rettangoli uguali, nel modo illustrato in figura 4, a sinistra; con dei movimenti posso trasportare le parti A, B, C e D ottenendo il rettangolo raffigurato a destra.

Dov'è l'errore?

figura 4

Ritieni che le difficoltà incontrate da Gigi e da Pierino in queste due situazioni siano analoghe o siano legate problemi di tipo differente?
Sai trovare situazioni o attività di altro tipo che possano essere impiegate didatticamente per mettere a fuoco i problemi o esercitare le abilità che sono all'origine di queste difficoltà?

Q6 Per dimostrare che la somma degli angoli interni dei triangoli è uguale a 180° si può procedere nel modo seguente?

     Sia S la somma degli angoli interni dei triangoli. In figura 5 è raffigurato un generico triangolo.
     Si ha: a+b+f=S e c+d+e=S. Quindi a+b+f+c+d+e=2S.
     Ma anche a+d+e+f=S, mentre b+c=180°.
     Quindi S+180°=2S, da cui 180°=S.

figura 5

Q7     Secondo te:
(1)  le dimostrazioni nell'insegnamento devono essere un oggetto di attività conoscitive o uno strumento conoscitivo?
(2)  sono culturalmente più significative attività volte a seguire una dimostrazione, a trovare una dimostrazione, a congetturare proprietà, o … ?
(3)  tra le dimostrazioni che hai studiato nella maggior parte dei corsi universitari, le dimostrazioni della logica simbolica e le dimostrazioni della cosiddetta geometria euclidea trovi delle differenze?
(4)  capire passo per passo i procedimenti attraverso cui si svolge una dimostrazione ti sembra che sia assimilabile al "capire" un programma (in un linguaggio di programmazione) o alla attività del programma traduttore (compilatore, interprete, …) che deve tradurre questo programma in una sequenza di istruzioni macchina?

Q8 Come ci si può assicurare che un sistema di assiomi per la geometria definisca effettivamente qualcosa, cioè non porti a contraddizioni?

Con altri comandi azionabili da un menu a cascata è possibile comandare la memorizzazione (Copy/Copia) e la riproduzione (Paste/Incolla) di porzioni di schermo.
     Ad esempio il riquadro 1 consente di battere delle parti di testo sul disegno.
     2 consente di impiegare il mouse per "selezionare" una porzione rettangolare del disegno sui cui poi operare con successivi comandi.
     3, 4, 5 e 6 consentono di usare il mouse per, rispettivamente, tracciare linee a mano libera, tracciare segmenti, tracciare poligonali, azionare una "gomma".
     14 e 15 consentono di tracciare (descrivendo con il mouse il rettangolo che li circoscrive) ellissi (cerchi con Shift premuto) o rettangoli (quadrati con Shift).
     7 e 8 ribaltano verticalmente o orizzontalmente quanto racchiuso nella parte di schermo selezionata. 16 e 17 effettuano, invece, una rotazione di 90° o di –90°.
     9 fa sì che il rettangolo selezionato e traslato mediante il mouse venga sovrapposto "opacamente" al nuovo rettangolo su cui si è posizionati (cioè cancelli le eventuali figure preesistenti), 18 fa sì che la sovrapposizione sia "trasparente".

figura 6

     Per la realizzazione di un particolare disegno devo ottenere dalla figura A la figura B, "inversamente uguale" (vedi figura 6).
     Come posso procedere dopo aver selezionato (vedi figura 7) la figura A?
     C'è un'unica strada?

figura 7

Se invece devo individuare il centro di un cerchio posso procedere per esempio nel modo illustrato sotto:

dato il cerchio (A), traccio un quadrato capace di contenerlo e una sua diagonale (B), seleziono una parte del quadrato che contenga un estremo e almeno metà della diagonale, la copio e la incollo in trasparenza in modo che i lati siano tangenti al cerchio (C), ne riproduco un'altra copia, la ribalto orizzontalmente e la dispongo in modo che i lati siano tangenti al cerchio (D), cancello le parti incollate sul cerchio lasciando solo il punto di intersezione delle due diagonali (E).
Secondo te è più utile (didatticamente e culturalmente) riflettere sulla conoscenze geometriche "incorporate" in una / necessarie per usare una "vera" applicazione per fare disegni o utilizzare del software specifico per l'insegnamento della geometria euclidea (forse conosci qualche prodotto di questo genere)?

Q10 Nell'appendice 3 è riprodotta la griglia per una lettura critica dei "nuovi programmi" utilizzata in un corso di aggiornamento sui nuovi programmi svoltosi nel 1992. Esamina i "nuovi programmi" per il biennio e per il triennio, insieme ai programmi della scuola media inferiore e ai "vecchi programmi" (ad esempio dello scientifico) e, liberamente, o utilizzando la griglia (riferendola alla geometria), cerca di mettere a fuoco i principali problemi che comporta l'attuazione dei nuovi programmi.
[Il fascicolettodistribuito agli insegnanti che avrebbero partecipato al corso conteneva, oltre ai quesiti, i programmi "Brocca" e "PNI" e gli altri programmi citati in Q10]

Appendice 1: dal manuale di Enriques e Amaldi
[Sono stati riportati, con alcune modifiche linguistiche inessenziali, solo una parte degli assiomi, delle definizioni e dei teoremi (includendo corollari e lemmi tra i "teoremi"), parte comunque sufficiente per affrontare Q3]

Appendice 2: dal manuale di Prodi
[Sono stati riportati, con alcune modifiche linguistiche inessenziali, solo una parte degli assiomi, delle definizioni e dei teoremi (includendo corollari e lemmi tra i "teoremi"), parte comunque sufficiente per affrontare Q3]

La griglia era stata usata per un'iniziativa sui programmi della scuola secondaria superiore realizzata in collaborazione con il nucleo di ricerca didattica Grem e con il Cidi. [Vedi: C.Dapueto & F.Furinghetti, "Un'esperienza di lettura critica dei Nuovi Programmi di Matematica per il primo biennio della scuola secondaria superiore", Insegnare, n.11-12, 1992]

Punti in cui articolare la lettura di ciascuna area matematica

A) Uno dei problemi di fondo per l'attuazione dei programmi è quello del raccordo con la scuola media inferiore, che si può articolare nei seguenti punti:

1) Ciò che gli alunni dovrebbero sapere dalla scuola media (in relazione a questa area).

2) Ciò che (mediamente) sanno dalla scuola media.

3) Ciò che l'insegnante ("standard") dà per scontato che sappiano.

4) Che cosa cambia, al riguardo, per chi svolge i "nuovi programmi".

B) Per cogliere meglio il senso dei cambiamenti è utile confrontare i programmi della Commissione Brocca sia con i vecchi programmi che con quelli del P.N.I. (rispetto a questi ultimi, alcuni temi sono stati riscritti rendendo meno esplicite le innovazioni). Per valutare la direzione dei cambiamenti "reali" nella pratica dell'insegnamento è utile tener conto di come nuovi e vecchi programmi sono stati "interpretati" dai libri di testo.

1) Cambiamenti rispetto ai programmi vecchi (del Liceo Scientifico o di altra scuola): che cosa resta, che cosa sparisce, che cosa viene modificato (in questa area).

2) Confronto tra "Brocca" e "P.N.I." (riguardo sia ai contenuti che ai commenti).

3) "Interpretazione" dei vecchi e dei nuovi programmi da parte dei libri di testo (riguardo sia ai contenuti che alla loro impostazione).

C) Dalla lettura del complesso dei programmi di matematica, da quelli per le elementari fino a quelli per il 1° biennio della scuola secondaria superiore, emerge l'indicazione di un insegnamento a spirale: gli argomenti vengono man mano ripresi con successivi livelli di approfondimento, formalizzazione e integrazione con altre aree matematiche.

1) Aspetti che, in questo senso, caratterizzano (in questa area contenutistica) gli obiettivi del biennio superiore rispetto a quelli della scuola media.

2) Alla luce di quanto in 1), abilità e concetti da dare per "scontati" e da "recuperare". Quanto questa valutazione dipende dal tipo di scuola secondaria superiore.

D) Nei nuovi programmi sono presenti avvertenze didattiche (sia nella parte generale che in quella articolata per temi) relative al modo in cui introdurre e sviluppare gli argomenti, anche al fine di focalizzare meglio gli aspetti significativi della matematica e delimitare il peso, nell'insegnamento e nella valutazione, degli aspetti più nozionistici e fuorvianti.

1) Obiettivi di apprendimento da perseguire (in sintesi) e cose "da non fare" e metodi da non seguire (esempi). Eventuali perplessità riguardo a queste indicazioni.

2) Come accogliere (per quest'area contenutistica) l'indicazione di «partire da situazioni didattiche che favoriscano l'insorgere di problemi matematizzabili, …» (vedi il primo capoverso delle "Indicazioni didattiche"): esempi.

E) Nei programmi è data l'indicazione di non usare l'ordine di presentazione dei temi come ordine di svolgimento ma di sviluppare i temi in modo integrato.

Aspetti di questa area contenutistica che possono essere sviluppati in maniera integrata (risparmiando "tempo" e favorendo reciproche "motivazioni") con quelli di altre aree contenutistiche o del "laboratorio". Esempi e difficoltà a realizzare questa integrazione.

Nota. Il punto A1 della griglia è un po' ambiguo: si pone il problema "dovrebbero sapere" rispetto a che cosa? (1) agli obiettivi dei programmi della SMI o (2) alle esigenze della SSS? Il problema in parte dipende dalla soluzione del nodo: biennio come ultimo segmento della scuola dell'obbligo o no?
Comunque a noi è parso che ci si debba riferire essenzialmente a (1): ogni livello scolastico deve raccordarsi con quello precedente e deve tener conto dei programmi ivi in vigore. Invece spesso accade che chi è nel livello precedente si preoccupi (o sia indotto a preoccuparsi) più che dei propri programmi di quello che potrebbe essere preteso nel livello successivo. E` un problema che si ripropone ad ogni passaggio di scuola o di ciclo (anche tra biennio e triennio). In particolare spesso l'insegnante di SSS non conosce neanche i programmi della SMI.
Del resto la SMI deve fornire/sviluppare un bagaglio di conoscenze e di "atteggiamenti" utile sia a chi conclude la scuola che a chi prosegue gli studi. Quindi, affrontando A1 e A2, occorre tener conto della propria esperienza con gli alunni delle classi prime per individuare quali aspetti ritenuti prioritari dai programmi della SMI sono scarsamente o malamente perseguiti e sarebbero invece importanti per innestare l'insegnamento secondario superiore.

Seconda Parte

	Introduzione
	I quesiti proposti
	Appendice 1: dal manuale di Enriques e Amaldi
	Appendice 2: dal manuale di Prodi
	Appendice 3: una griglia per la lettura dei nuovi programmi

1		ASS. Per due punti A e B passa un'unica retta , che viene detta retta AB.
2		ASS. Vi sono infinite rette.
3		ASS. I punti della retta sono ordinati secondo due versi opposti e tali che in ciascuno di essi non vi è né primo né ultimo punto e fra due punti vi sono infiniti punti intermedi.
4		DEF. Dati i punti A e B dicesi semiretta AB la parte della retta AB che contiene A e i punti successivi nel verso secondo cui B segue A.
5		DEF. Dati due punti A e B dicesi segmento AB la parte comune alle semirette AB e BA.
6		DEF. Due segmenti aventi in comune un unico punto che è estremo di entrambi si dicono consecutivi.
7		DEF. Dati due segmenti consecutivi AB e BC contenuti nella stessa retta, il segmento AC si dice somma di AB e BC. AB dicesi differenza di BC da AC.
8		ASS. L'uguaglianza tra segmenti è transitiva. Somme di segmenti uguali sono uguali. Dati una semiretta AB e un segmento CD, esiste un segmento AE uguale a CD e contenuto nella semiretta AB.
9		TEO. L'operazione di somma tra segmenti è associativa e commutativa
10		TEO. Differenze di segmenti uguali da segmenti uguali sono uguali
11		ASS. Dati due segmenti AB e AC, il primo contenuto nel secondo, esiste un numero naturale n tale che, sommando ad AB n segmenti uguali ad AB, si ottiene un segmento AD che contiene AC.
12		ASS. Una retta r determina due insiemi di punti, detti semipiani limitati da r, tali che: r è contenuta in entrambi i semipiani, ogni altro punto appartiene a uno solo di essi, il segmento che ha per estremi due punti che non stanno su r interseca r se e solo se i due punti appartengono a semipiani diversi.
13		DEF. Dati tre punti A,B,C non allineati dicesi angolo [convesso] ABC l'insieme dei punti comuni al semipiano limitato dalla retta BA e contenente C e al semipiano limitato dalla retta BC e contenente A. Le semirette BA e BC diconsi lati dell'angolo ABC.
14		DEF. Se due rette AB e CD si intersecano in O gli angoli BOC e AOD si dicono opposti al vertice. Due angoli con un lato in comune si dicono consecutivi.
15		DEF. Dicesi somma di due angoli consecutivi AOB e BOC la figura costituita dai punti dell'uno e dai punti dell'altro; AOB dicesi angolo differenza di BOC da essa. Le figure ottenibili come somma di angoli e che non sono angoli convessi vengono dette angoli piatti se sono dei semipiani, angoli concavi altrimenti.
16		ASS. L'uguaglianza tra angoli è transitiva. Somme di angoli uguali sono uguali. Dati un angolo e una semiretta esiste un'altra semiretta che con essa forma un angolo uguale all'angolo dato.
17		TEO. Differenze di angoli uguali da angoli uguali sono uguali.
18		ASS. Gli angoli piatti sono uguali tra loro
19		TEO. Angoli opposti al vertice sono uguali.
20		DEF. Dati tre punti A,B,C non allineati dicesi triangolo ABC la figura costituita dai punti comuni agli angoli CBA, ACB e BAC.
21		DEF. Due triangoli sono uguali se, indicati con A, B, C i vertici del primo triangolo, è possibile prendere i vertici del secondo nell'ordine A', B', C' in modo che i lati AB, BC e CA e gli angoli in A, in B e in C siano ordinatamente uguali ai lati A'B', B'C' e C'A' e agli angoli in A', in B' e in C'.
22		ASS: il primo criterio di eguaglianza tra triangoli.
23		DEF. Due rette si dicono parallele se non hanno punti in comune.
24		DEF. Una retta intersechi una seconda retta in P e una terza retta in Q. Un angolo in P e un angolo in Q che contengano il segmento PQ e stiano in semipiani opposti rispetto alla retta PQ diconsi alterni interni.
25		TEO. Due rette intersecate in P e Q da una terza retta formando una coppia di angoli alterni interni uguali sono parallele.
26		ASS. Esiste un'unica retta parallela a una retta data e passante per un punto dato.
27		TEO. La relazione di parallelismo è transitiva.
28		TEO. Due rette parallele intersecate in P e Q da una terza retta formano angoli alterni interni uguali.
29		DEF. Dato un punto O e un segmento OA, l'insieme dei punti P tali che OP è uguale ad OA viene detto circonferenza di centro O e raggio OA.
30		DEF. I punti dei raggi di una circonferenza che non appartengono alla circonferenza stessa vengono detti punti interni ad essa.
31		ASS. Data una circonferenza e un punto A interno ad essa, ogni semiretta di origine A ha un unico punto in comune con la circonferenza.
32		ASS. Date due circonferenze a e b di centri A e B distinti, siano AP un raggio di a contenuto nella semiretta AB e BQ un raggio di b contenuto nella semiretta BA. Se P e Q sono distinti e AP e BQ hanno QP come intersezione, a e b hanno esattamente due punti in comune.
33		ASS. Se, per ogni numero naturale n, A_n+1B_n+1 è un segmento contenuto nel segmento A_nB_n, allora esiste un punto P che, per ogni n, appartiene al segmento A_nB_n.

1		ASS. Esiste una distanza d [cioè una funzione d che ad ogni coppia di punti associa un numero reale in modo che, per ogni A, B e C: •d(A,A)=0, • d(A,B)>0 se B è distinto da A, • d(A,B)=d(B,A), • d(A,B)≤d(A,C)+d(C,B)].
2		ASS. Per due punti A e B passa un'unica retta , che viene detta retta AB.
3		ASS. Esistono tre punti A, B e C tali che C non appartiene alla retta AB.
4		DEF. Due rette sono parallele tra loro se non hanno punti in comune.
5		ASS. Ogni retta ammette una relazione d'ordine "<" e queste relazioni d'ordine sono tali che: (A, B e C appartengono alla stessa retta e (A<B<C o C<B<A)) se e solo se d(A,C)=d(A,B)+d(C,D)
6		DEF. Dati due punti A e B, se A<B dicesi semiretta AB l'insieme dei punti P tali che A<P e segmento AB l'insieme dei punti P tali che A²P²B, se B<A dicesi semiretta AB l'insieme dei punti P tali che P<A e segmento AB l'insieme dei punti tali che B²P²A.
7		ASS. Per ogni semiretta di origine O e ogni numero reale positivo x esiste un unico punto P della semiretta tale che d(O,P)=x
8		ASS. Per ogni retta r esistono due insiemi di punti disgiunti e non contenenti r tali che un segmento AB non taglia r se e solo se A e B appartengono al medesimo di tali insiemi (tali insiemi diconsi semipiani di bordo r)
9		DEF. Si dice angolo ogni coppia di semirette a e b aventi la stessa origine. Se a e b sono contenute nella stessa retta, l'angolo viene detto piatto. Se a e b non sono contenute nella stessa retta, viene chiamata regione angolare di lati a e b l'intersezione del semipiano che contiene a e ha bordo contenente b con il semipiano che contiene b e ha bordo contenente a; l'origine delle semirette viene chiamata vertice della regione angolare.
10		DEF. Si dice triangolo ABC ogni terna di punti A, B e C non appartenenti alla stessa retta. Si chiama regione triangolare associata al triangolo ABC (o regione triangolare ABC) l'intersezione delle tre regioni angolari aventi come lati le semirette AB e AC, BA e BC, CA e CB.
11		DEF. Una isometria è una applicazione bigettiva F del piano in sé stesso tale che per ogni coppia di punti A,B d(A,B)=d(F(A),F(B)).
12		TEO. Una isometria trasforma una retta in una retta.
13		DEF. Data una retta r, una simmetria assiale di asse r è una isometria F tale che se P sta in r allora F(P)=P, altrimenti F(P) è dall'altra parte rispetto a r e F(F(P))=P.
14		ASS. Per ogni retta esiste un'unica simmetria assiale che l'ha come asse.
15		DEF. Una retta s è perpendicolare alla retta r se è distinta da r e se viene trasformata in sé dalla simmetria di asse r.
16		TEO. Dati un punto P e una retta r non passante per esso, esiste un'unica retta perpendicolare a r e passante per P.
17		DEF. Dati un punto P e una retta r non passante per esso, dicesi proiezione di P su r l'intersezione di r con la retta perpendicolare a r e passante per P
18		TEO. Dati un punto P e una retta r non passante per esso, c'è un solo punto di r che ha distanza minima da P, e è la proiezione di P su r.
19		TEO. La relazione di perpendicolarità è simmetrica
20		TEO. Una qualunque isometria trasforma due rette tra loro perpendicolari in due rette tra loro perpendicolari.
21		ASS. Data una retta r e un punto P di essa, esiste un'unica retta perpendicolare a r e passante per P.
22		TEO. Due rette perpendicolari a una stessa retta sono tra loro parallele.
23		TEO. Dati una retta r e un punto P, esiste una parallela a r passante per P.
24		DEF. Dicesi simmetria centrale di centro O l'applicazione che manda O in O e ogni altro punto P nel punto P' della semiretta PO tale che d(O,P)=d(O,P').
25		TEO. Componendo due simmetrie assiali con assi perpendicolari fra loro si ottiene la simmetria centrale che ha come centro il loro punto di incontro.
26		TEO. Una simmetria centrale è una isometria.
27		TEO. Una simmetria centrale trasforma una retta in una retta ad essa parallela.
28		ASS. Se r e s sono rette che si incontrano in O, se indichiamo con P un punto di r e con P' la sua proiezione su s, si ha che d(O,P') è proporzionale a d(O,P).
29		TEO. È unica la parallela mandata a una retta da un punto ad essa esterno.
30		TEO. La relazione di parallelismo è transitiva.
31		TEO. Dati due punti A, B di una retta r e due punti P,Q di una retta s con d(A,B)=d(P,Q), fissati due semipiani a e b con bordi, rispettivamente, r e s, esiste un'unica isometria che manda A in P, B in Q e trasforma a in b.
32		ASS. Esiste un'unica funzione M, detta misura angolare, che fa corrispondere a ogni angolo (a,b) un numero reale in modo che: • M(a,b)=0 se e solo se a=b, M(a,b)=π se (a,b) è piatto, l'immagine di M è [0,π], • s e c è una semiretta contenuta nella regione angolare (a,b) e ha la stessa origine di a e b, allora M(a,b)=M(a,c)+M(c,b), • M(a,b)=M(c,d) se (a,b) e (c,d) sono isometrici.
33		TEO. M(a,b)=M(c,d) se e solo se (a,b) e (c,d) sono isometrici.
34		TEO: primo criterio di eguaglianza (isometria) per i triangoli.