La derivazione di funzioni
Come varia l'andamento di una funzione

Indice guide

Per questa scheda vedi anche le indicazioni presenti negli Oggetti Matematici, qui.

Il contenuto della scheda è scandito dai titoli dei paragrafi:  Il concetto di pendenza - Il concetto di differenziale - La funzione derivata - Alcuni esempi di calcolo di derivate - Derivabilità e continuità - Notazioni e proprietà - La derivazione di sin e cos (rinviabile) - La derivazione della funzione esponenziale (rinviabile).  Più in dettaglio gli argomenti affrontati sono:
– Funzioni a scalini ed altre funzioni con punti di nonderivabilità (e con punti in cui non sono definite).
– Derivazione (funzioni polinomiali: prima le quadratiche e poi le altre; x → x^a).
– Nei due paragrafi finali, affrontabili ora o dopo, a seconda del percorso seguito dalle classi (dopo la scheda sull'avvio all'integrazione, o all'inizio della classe 4ª) sono presenti:
• cenni alla derivazione delle funzioni circolari (in Es.14 sono presenti approfondimenti affrontabili nelle ore di fisica; l'argomento viene ripreso poi in una scheda successiva);
• cenni alla funzione esponenziale, poi ripresa in statistica (discorso sui rapporti tra forma del grafico della funzione e forma di quello della funz. derivata; far fare a "scatola nera" la derivata dell'esponenziale, congetturando quel che accade graficamente/numericamente); sono previste attività aggiuntive sotto forma di "esercizi di approfondimento" inseriti in Es.14 come numeri 28-30 (sono essenzialmente estratti dalla scheda 4 presente qui).
    I cenni alla derivazione delle funzioni seno e coseno e della funzione esponenziale sono utili anche per consolidare una prima messa a punto del concetto di derivazione:  le prime due sono ottenibili l'una dall'altra mediante l'operazione di derivazione, come si può intuire dalle loro rappresentazioni grafiche,  la terza ha la caratteristica di essere la derivata di sé stessa.

1.1  Quesito 1: dalle 0 del giorno 1 alle 12 del giorno 2, quando la temperatura ha oscillato intorno ai −5°. Il dislivello massimo che ha superato passado da un "pallino" al secondo ad esso successivo è stato, tra le 6 e le 12 del giorno 6, di 9·2°, ossia di 18°.

1.2  Quesito 2: nel primo minuto, −9·5° = −45°;  nel terzo, −3°.

1.3  Quesito 3: 100·10/500 mm/l = 2 mm/l, leggendo il grafico; ovvero 0.2·10 mm/l = 2 mm/l, utilizzando il dato in cm/l.

1.4  Quesito 4:  −3/1 = −3;  (2−1)/(√2−1) = 1/(√2−1) = √2+1 = 2.41421…;  (2−1)/(√2−1) = ….

2.1  Quesito 5:  Sono approssimazioni per eccesso, in quanto il grafico ha la concavità rivolta verso il basso.

2.2  Quesito 6:  10 ± 0.13 cm.

3.1  Quesito 7:  essendo il grafico della funzione inversa simmetrico rispetto alla bisettrice del 1º quadrante, la pendenza è 1/2.

3.2  Quesito 8:  Fatti i calcoli con 0, 1, 2, 3, 4, 5, 1/2, -1 al posto di "…" nella riga succesiva, posso concludere con "quasi" certezza che la derivata in x sia 2x.
x <- …; h <- 0.1; for(i in 1:20) {h <- h/2; print(Ri(g,x,h))}

4.1  Quesito 9:  p <- 3^(2.5-1)*2.5

5.1  Quesito 10:  Ecco come fare il grafico della derivata facendola calcolare a R; agli alunni la si fa calcolare "a mano" (dopo il quesito 13 si può far usare R anche a loro). f <- function(x) sqrt((x*x-1)^2) plot(f,-2,2, ylim=c(-4,4) ) abline(v=axTicks(1),h=axTicks(2),col="blue",lty=3) fx <- expression( sqrt((x*x-1)^2) ) gx <-D(fx,"x"); g <- function(x) eval(gx) plot(g,-2,2,add=TRUE,col="red") 6.1  Quesito 11: f <- function(x) x*x-6*x+1/7 plot(f,0,6) abline(v=axTicks(1),h=axTicks(2),col="blue",lty=3) abline(v=0,h=0,lty=2,col="blue") points(3,f(3)) # g <- function(x) (x-3)^2-9+1/7 plot(g,0,6,add=TRUE,col="red")

7.1  Quesito 12: visualizzazione grafica delle soluzioni.
f <- function(x) sin(3*x)
plot(f,-1,3)
abline(v=axTicks(1),h=axTicks(2),col="blue",lty=3)
abline(v=0,h=0,lty=2,col="blue")
g <- function(x) (x-pi/3)*-3
plot(g,-1,3,add=TRUE,col="red")
points(pi/3,f(pi/3))

8.1  Quesito 14: la retta passa per il punto di asissa 0 del grafico della funzione e ha pendenza 1, quanto vale la derivata della funzione in 0.

9.1  Quesito e1:
f <- function(x) ifelse( x<1000,50/1000*x, ifelse( x<1500,50+50/500*(x-1000), 100+100/500*(x-1500) ) )
...
p <- function(x) ifelse( x<1000, 50/1000, ifelse( x<1500, 50/500, 100/500 ) )

9.2  Quesito e2. Una visualizzazione delle soluzioni:
abline(v=-1,col="red",lty=2)
g <- function(x) (x-sqrt(2)/2)*-1+sqrt(2)/2
plot(g,-1,1,add=TRUE,col="red",lty=2)
g <- function(x) (x+sqrt(2)/2)+sqrt(2)/2
plot(g,-1,1,add=TRUE,col="red",lty=2)

9.3  Quesito e3. Una visualizzazione col computer:
f <- function(x) sqrt( ((x-3)^2-2)^2 )
plot(f, 0,6, n=1000, ylim=c(-6,7) )
abline(v=axTicks(1), h=axTicks(2), col="blue",lty=3)
fx <- expression( sqrt( ((x-3)^2-2)^2 ) )
gx <-D(fx,"x"); g <- function(x) eval(gx)
plot(g,0,6,add=TRUE,col="red",type="p", pch=".",n=1000)

9.4  Quesito e4. Una visualizzazione col computer:
f <- function(x) (x-2)*(x+2)
plot(f, -3,3, ylim=c(-6,6) )
abline(v=axTicks(1), h=axTicks(2), col="blue",lty=3)
fx <- expression( (x-2)*(x+2) )
gx <-D(fx,"x"); g <- function(x) eval(gx)
plot(g,-3,3,add=TRUE,col="red")

9.5  Quesito e5. Una visualizzazione col computer:
f <- function(x) 3*x^2-1
a <- -1; b <- 2; plot(f, a,b)
abline(v=axTicks(1), h=axTicks(2), col="blue",lty=3)
points(1,f(1))
g <- function(x) 6*x
h <- function(x) (x-1)*g(1)+f(1)
plot(h, a,b, add=TRUE, col="red")

9.6  Quesito e6. Una visualizzazione col computer:
f <- function(x) (x-2)*(x-1)*(x+2)
a <- -3; b <- 3; plot(f, a,b)
abline(v=axTicks(1), h=axTicks(2), col="blue",lty=3)
abline(v=0,h=0,col="blue",lty=2)
fx <- expression( (x-2)*(x-1)*(x+2) )
gx <-D(fx,"x"); gx; g <- function(x) eval(gx)
plot(g, a,b, add=TRUE, col="red")
    Calcolo formale con wolframalpha:
d/dx (x-2)*(x-1)*(x+2)

9.7  Quesito e7. Una visualizzazione col computer:
F <- function(x) ifelse(x<2, x, 2*x-2)
plot(F, 0,4, n=1000, type="p", pch=".")
abline(v=axTicks(1), h=axTicks(2), col="blue",lty=3)

9.8  Quesito e8. Una visualizzazione col computer:
G1 <- function(x) x*x
G2 <- function(x) 2*x-1
G <- function(x) ifelse(x<1, G1(x), G2(x) )
plot(G, 0,2, n=1000, type="p", pch=".")
abline(v=axTicks(1), h=axTicks(2), col="blue",lty=3)
G1x <- expression( x*x )
G2x <- expression( 2*x-1 )
H1x <-D(G1x,"x"); H1x; H1 <- function(x) eval(H1x)
plot(H1, 0,1, add=TRUE, col="red")
H2x <-D(G2x,"x"); H2x
H2 <- function(x) eval(H2x)+x-x
plot(H2, 1,2, add=TRUE, col="brown")

9.9  Quesito e9. Una visualizzazione col computer:
H1 <- function(x) x^2/2
H2 <- function(x) 0+x-x
H <- function(x) ifelse(x>=0, H1(x), H2(x) )
plot(H, -2,2)
abline(v=axTicks(1), h=axTicks(2), col="blue",lty=3)
H1x <- expression( x^2/2 )
H2x <- expression( 0+x-x )
K1x <-D(H1x,"x"); K1x; K1 <- function(x) eval(K1x)
K2x <-D(H2x,"x"); K2x; K2 <- function(x) eval(K2x)
plot(K1, 0,2, add=TRUE, col="red",lwd=3, lty=2)
K2x <-D(K2x,"x"); K2x
K2 <- function(x) eval(K2x)+x-x
plot(K2, -2,0, add=TRUE, col="brown",lwd=3, lty=2)

9.10  Quesito e16. Una visualizzazione col computer: