Figure piane
Lunghezze e aree. Triangoli e cerchi.
Per queste schede, prima e seconda, vedi anche le indicazioni presenti negli Oggetti Matematici, qui.
In breve, l'unità didattica affronta:
– Aree di poligoni e cerchi.
– Teoremi significativi sui triangoli.
– Implicita introduzione all'integrazione definita.
– Aree di poligoni e cerchi.
Il contenuto della scheda 1 è scandito dai titoli dei paragrafi:
Lunghezza di curve -
Il concetto di area -
L'area di poligoni -
L'area di poligoni regolari, cerchi ed altre figure -
Approfondimenti.
Quello della scheda 2 dai seguenti:
Triangoli -
Criteri di eguaglianza e similitudini -
Triangoli e cerchi -
Distanza tra figure -
Approfondimenti.
Volendo la prima o entrambe le schede possono essere anticipate all'inizio della terza.
Scheda 1
1.1 Il link collega al §3 di La matematica e lo spazio - 1. La lunghezza dei cerchi era già stata introdotta nel §3 di La matematica e lo spazio - 2; comunque l'argomento viene ripreso ex-novo.
1.2 Quesito 1:
f <- function(x) -(x-1)^2+1
plot(f,0,2)
abline(v=axTicks(1), h=axTicks(2), col="blue", lty=3)
L(f,0,2, 1000)
# 2.957885
L(f,0,2, 10000)
# 2.957886
Con WolframAlpha (come discusso negli esercizi) potrei ottenere:
arc length of y=-(x-1)^2+1 from x=0 to x=2
2.95788571508919...
4.1 Quesito 4, (A):
x <- c(1,4,3); y <- c(1,2,5)
n <- length(x); area <- (y[n]+y[1])*(x[n]-x[1])
for (i in 1:(n-1)) area <- area + (y[i]+y[i+1])*(x[i]-x[i+1])
area <- abs(area)/2; area
| 6.1 Quesito e5: | |
6.2 Quesito e6:
n <- length(x); area <- (y[n]+y[1])*(x[n]-x[1])
for (i in 1:(n-1)) area <- area + (y[i]+y[i+1])*(x[i]-x[i+1])
area <- abs(area)/2; area
# 23.5
Scheda 2
1.1 Quesito 1: vedi qui il quesito 6.3.
| 2.1 Quesito 2: x*x+(x-5)^2=17 → x^2-5x+4=0 → x=1 or x=4 |  |
| 2.2 Quesito 3: vedi. |
2.3 Quesito 4: i due triangoli sono simli, il rapporto tra le altezze relative ai lati a e d è 3, quindi, essendo b lungo 2√(3²+1), e è lungo 2√10/3; l'area del triangolo piccolo è 1/2, quella del grande è 3²/2 = 4.5.
3.1 Quesito 5: vedi.
3.2 Quesito 6: il cerchio circoscritto è raffigurato a sinsitra, quello inscritto a destra; il centro del segmento sinistro del triangolo sinistro ha ascissa 2 e ordinata 5 e ha pendenza 5/2; l'asse del segmento è dunque y=-2/5*(x−2)+5; la sua intersezione con x=5 è il punto (5,19/5). Per tracciare i cerchi con R cerca "cerchio" qui.
4.1 Nel §4 vengono richiamati i concetti di estremo inferiore e superiore di un intervallo, lasciando al §5 la loro generalizzazione ad altri insiemi di numeri. Per ulteriori generalizzazioni rinviamo a WolframAlpha (cerca "infimum"; per l'estremo inferiore occorre battere, ad es., MinValue[ {1/n, 1 <= n}, n ]; per quello superiore MaxValue[ { n/(n+1), 0 <= n}, n ]).
6.1 Quesito e3: vedi 3a.1 qui
6.2 Quesito e4: vedi 6a.8 qui