Le funzioni circolari
... e il moto armonico
Questa breve scheda presenta la derivazione e l'integrazione delle funzioni circolari attraverso collegamenti a parti già presenti come facoltative nel §7 della scheda sulla derivazione e nel §4 di quella sulla integrazione. Quindi sviluppa l'argomento del moto armonico. Volendo, la scheda è rinviabile alla classe 4ª.
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1.1 Quesito 1.
Vediamo le soluzioni con R: a <- 36/180*pi; cos(a)*2300; sin(a)*2300 # 1860.739 1351.906 plot(c(0,2300),c(0,2300),type="n",xlab="", ylab="", asp=1) abline(v=axTicks(1), h=axTicks(2), col="blue", lty=3) symbols(0, 0, circles=2300, inches=FALSE, add=TRUE, fg="red",lwd=3) polygon(c(0,cos(a)*2300,cos(a)*2300),c(0,sin(a)*2300,0),lwd=3) Posso prendere 1861, 1352. |  |
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4.1 Quesito e1.
Il grafico è da tracciare prima a mano, tracciati i punti.
Da confrontare con questo sono i grafici ottenibili con la descrizione parametrica
della curva o con quella della descrizione della funzione che la ha per grafico,
correggendo eventualmente le descrizioni analitiche sulla base del confronto
con la retta che passa per i due punti. L'esercizio, per vari alunni, non dovrebbe
essere facile, ma, risolto poi con l'insegnante, dovrebbe dare qualche idea
su come affrontare questioni analoghe.
I grafici con R: x <- function(t) 1-1/4*t y <- function(t) 1-1/4*-2*t plot(c(-1,4),c(-2,4),type="n",xlab="", ylab="", asp=1) abline(v=axTicks(1), h=axTicks(2), col="blue", lty=3) abline(v=0,h=0,lty=2,col="blue") t1 <- -6; t2 <- 5; punti <- 2001; t <- seq(t1,t2,(t2-t1)/punti) lines(x(t),y(t)) points(x(0),y(0),col="red"); points(x(-4),y(-4)) # il grafico sovrapposto della funzione: f <- function(x) 1-2*(x-1) plot(f,-1,4, lty=2, col="red",add=TRUE) |
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4.2 Quesito e2. Vedi il grafico con R:
x <- function(t) 3*t; y <- function(t) -2*t
plot(c(-3,3),c(-3,3),type="n",xlab="", ylab="", asp=1)
abline(v=axTicks(1), h=axTicks(2), col="blue", lty=3)
abline(v=0,h=0,lty=2,col="blue")
t1 <- -5; t2 <- 5; punti <- 2001; t <- seq(t1,t2,(t2-t1)/punti)
lines(x(t),y(t))
4.3 Quesito e3. Vedi il grafico con R:
x <- function(t) t^3-t; y <- function(t) t
plot(c(-2,2),c(-2,2),type="n",xlab="", ylab="", asp=1)
abline(v=axTicks(1), h=axTicks(2), col="blue", lty=3)
abline(v=0,h=0,lty=2,col="blue")
t1 <- -5; t2 <- 5; punti <- 2001; t <- seq(t1,t2,(t2-t1)/punti)
lines(x(t),y(t))
4.4 Quesito e4. Vedi il grafico con R:
x <- function(t) -1+5*cos(t); y <- function(t) 3+5*sin(t)
plot(c(-10,5),c(-5,10),type="n",xlab="", ylab="", asp=1)
abline(v=axTicks(1), h=axTicks(2), col="blue", lty=3)
abline(v=0,h=0,lty=2,col="blue")
t1 <- -5; t2 <- 5; punti <- 2001; t <- seq(t1,t2,(t2-t1)/punti)
points(-1,3); lines(x(t),y(t))
4.5 Quesito e5. Vedi il grafico con R:
x <- function(t) -1+2*cos(t); y <- function(t) 3+4*sin(t)
plot(c(-5,5),c(-2,8),type="n",xlab="", ylab="", asp=1)
abline(v=axTicks(1), h=axTicks(2), col="blue", lty=3)
abline(v=0,h=0,lty=2,col="blue")
t1 <- -5; t2 <- 5; punti <- 2001; t <- seq(t1,t2,(t2-t1)/punti)
points(-1,3); lines(x(t),y(t))
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4.6 Quesito e6.
Vedi il grafico con R: R <- function(t) 1*t; alfa <- function(t) 2*pi/10*t x <- function(t) R(t)*cos(alfa(t)); y <- function(t) R(t)*sin(alfa(t)) plot(c(-15,15),c(-15,15),type="n",xlab="", ylab="", asp=1) abline(v=axTicks(1), h=axTicks(2), col="blue", lty=3) abline(v=0,h=0,lty=2,col="blue") t1 <- 0; t2 <- 20; punti <- 2001; t <- seq(t1,t2,(t2-t1)/punti) lines(x(t),y(t),col="brown") |
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4.7 Quesito e7. Periodo: 2π/ω; ordinata intersezione con asse verticale: R·sin(φ).
4.8 Quesito e8. Periodo: 2π/ω; ampiezza: M; fase iniziale: α; frequenza: ω/(2π); pulsazione: ω.