Il teorema limite centrale
I limiti in probabilità

Indice guide

In questa scheda viene approfondito lo studio di alcune variabili casuali discrete e continue (concetti introdotti nella scheda per la classe 2ª Calcolo delle probabilità) che è stato avviato nella scheda Quale matematica per i fenomeni casuali?  Viene, in particolare, introdotta la distribuzione binomiale e viene, quindi, fatta una prima presentazione del teorema limite centrale e della gaussiana e viene discusso il ruolo dello scarto quadratico medio. Quest'ultima parte, svolta in modo abbastanza euristico, ha l'obiettivo di introdurre criticamente l'uso dello scarto quadratico medio (in quasi tutti i libri di matematica e di fisica introdotto con gravi errori concettuali); in particolare viene introdotto in relazione a possibili impieghi nell'ambito di attività di misurazione ad alta sensibilità. Verrà ripreso in classe quarta. Questa scheda, a seconda delle esigenze, potrà essere svolta prima di quella sulle funzioni circolari. L'introduzione al teorema centrale qui svolta corrisponde, grosso modo, alla 1ª parte di questa voce degli Oggetti Matematici.

1.1  Volendo, può essere richiamata la situazione della alzata delle carte ( Calcolo delle probabilità).

1.2  Quesito 1. Il valore Pr(N=5) era già stato ottenuto. I calcoli sono da fare con la calcolatrice. Dopo li si potranno svolgere ad es. con R:
n <- 10; i <- 5; choose(n,i)/2^n; i <- 3; choose(n,i)/2^n
#  0.2460938   0.1171875

1.3  Quesito 3. Vedi l'es. 3.4 qui.

2.1  Il teorema limite centrale viene introdotto "euristicamente", senza una eccessiva formalizzazione, non alla portata degli alunni. Qualche approfondimento può essere trovato negli Oggetti Matematici.

2.2  Quesito 4. Il quesito serve solo per verificare l'attenzione da parte degli alunni. N = 1000, p = 1/8 = 0.125.

2.3  Quesito 5. Ovviamente 1/2. Posso verificare la cosa aggiungendo ai comandi precedenti:
integrate(z,180,Inf)$value # 0.5

3.1  Il paragrafo introduce la problematica dei rapporti tra deviazione standard teorica e deviazione standard statistica. La questione è affrontata anche nell'esercizio 17.18 (della sezione 17 degli esercizi allegati alle schede).

3.2  Quesito 6. Ottengo:
 mean(dati); sqm(dati); sd(dati); sd(dati)*sqrt(4/5)
  18.6       4.409082   4.929503     4.409082
a conferma del fatto che R calcola come "deviazione standard" quella "corretta", che è maggiore di quella teorica, pari allo sqm.

3.3  Quesito 7. Per n = 10, (n-(n-1))/n = 1/n = 0.1 = 10%. Per n = 100, (n-(n-1))/n = 1/n = 0.01 = 1%.

3.4  Quesito 8. Vedi l'es. 5.6 qui.

3.5  Quesito 9. Vedi qui.

5.1  Quesito 10. Vedi qui.

6.1  Quesito e1. Vedi l'es. 3.3 qui.

6.2  Quesito e2. Vedi l'es. 3.5 qui.

6.3  Quesito e3. Vedi l'es. 3a.10 qui.

6.4  Quesito e4. Vedi l'es. 3a.3 qui.

6.5  Quesito e5. Vedi l'es. 3a.7 qui.

6.6  Quesito e6: vedi l'es. 4.6 qui. Ovvero:
z <- function(x) dnorm(x, mean=1.2, sd=0.8)
plot(z,1.2-3,1.2+3)
abline(h=axTicks(2), v=axTicks(1), col="blue",lty=3)
abline(v=c(-1.2,1.6),col="red")
integrate(z,-1.2,1.6)$value
# 0.6901126

6.7  Quesito e7: vedi l'es. 4.8 qui.

6.8  Quesito e8.  f(x) = ke^−kx (h > 0) è una funzione di densità su [0,∞) , ossia ∫_{[0, ∞)} f = 1. Quindi nel nostro caso k deve essere 7
(infatti se ∫_[0,∞) 7e^-7x dx = 1, allora ∫_[0,∞) 7e^hx dx ≠ 1 per h ≠ −7).
media = sqm = 1/7.