Sistemi di variabili casuali

Indice guide

Scheda:  Dopo una ripresa dei concetti di dipendenza ed indipendenza stocastica, vengono introdotte le funzioni di distribuzione bivariata, le loro rappresentazioni grafiche e i concetti di covarianza, correlazione e regressione. Tutto ciò è illustrato attraverso vari esempi. Gli argomenti verranno ripresi nella classe 5ª.  Per affrontare la scheda (e in generale gli argomenti che essa affronta, a meno di non ricorrere a software molto costoso) è indispensabile l'uso di R.  [vedi anche le indicazioni presenti negli Oggetti Matematici, qui, relative a voci simili ai temi affrontati nella scheda]
[i commenti ad alcuni esercizi sono in corso di riscrittura, sostituendo il ricorso al programma "Stat" con quello al programma "R"]

1.1   I concetti ripresi nel §1 sono poi richiamati in un link all'inizio del §2. Per il quesito 1 vedi l'esercizio 13 qui.

2.1   Quesito 2:   Le curve di livello sono cerchi concentrici. Il volume è 1, per cui il cono deve essere alto 3/π: questo è f(0,0). Il raggio delle curve di livello varia linearmente con la quota (se questa è compresa tra 0 e 3/π).

3.1   Quesito 3:   Evidentemente no, per le stesse motivazioni usate per le altre densità appena considerate.

4.1   Quesito 4:

  1       -1       0.4472136       0

4.5   Quesito 5:

cor(dati$BatPrima,dati$Peso)
# -0.2032213
summary(dati$BatPrima)
#   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
#  48.00   64.00   71.00   72.87   80.00  100.00 
summary(dati$Peso)
#   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
#  43.00   57.00   66.00   65.84   70.25   97.00 
plot(c(45,105),c(40,100),type="n")
abline(h=axTicks(2),v=axTicks(1),lty=3,col="blue")
points(dati$BatPrima,dati$Peso)

5.1   Il §5, in classi "deboli" può essere affrontato senza approfondire gli aspetti tecnici di analisi, usando il programma (usato anche per svolgere gli esercizi finali della sezione 19 - vedi) a cui si è rinviati prima del quesito 8.

5.2   Quesito 6:   vedi.

5.3   Quesito 7 e 8:

x <- c(2, 4, 7); y <- c(14, 23, 26)
plot(c(0,8),c(0,35),type="n",xlab="",ylab="")
abline(v=axTicks(1), h=axTicks(2), col="blue",lty=3)
points(x,y,pch=19)
mod = lm(y ~ x); mod$coefficients
#(Intercept)           x 
#  11.078947    2.289474 
abline(mod, col="brown",lwd=2)
k <- mean(x*y)/mean(x^2); k
# 4.376812
abline(0,k, col="blue",lwd=2)
points(mean(x),mean(y),lwd=4,col="red")

e1

#  I dati, colonna per colonna, e le dimensioni della tabella
T0 <- c(603,5051,7787, 246,1311,7901) 
nomi <- list(c("primario","secondario","altro"),c("M","F"))
T <- array(T0,dim=c(3,2),dimnames=nomi); T
#               M    F
# primario    603  246
# secondario 5051 1311
# altro      7787 7901
#    La distribuzione percentuale
prop.table(T)*100
#                    M         F
# primario    2.633303  1.074283
# secondario 22.057732  5.725141
# altro      34.005852 34.503690
#     I profili colonna
prop.table(T[,1])*100
#   primario secondario      altro 
#   4.486273  37.579049  57.934677 
prop.table(T[,2])*100
#   primario secondario      altro 
#   2.600973  13.861281  83.537746 
#     I profili riga
# La ripartizione percentuale per sesso degli occupati
# in  primario,  secondario,  altro
prop.table(T[1,])*100
#        M        F 
# 71.02473 28.97527 
prop.table(T[2,])*100
#        M        F 
# 79.39327 20.60673 
prop.table(T[3,])*100
#        M        F 
# 49.63666 50.36334

e2

rowSums(T)/sum(T)*100
#   primario secondario      altro 
#   3.707585  27.782873  68.509542 
colSums(T)/sum(T)*100
#        M        F 
# 58.69689 41.30311

e3  Vedi l'esercizio 6 qui.

e4  Vedi l'esercizio 7 qui.

e5

x <- c(50, 100, 200, 250, 350)
y <- c(7.5, 15, 12.5, 10, 17.5)
plot(x,y,pch=19,xlim=c(0,400),ylim=c(5,20))
abline(h=seq(5,20,1),v=seq(0,400,50),lty=3,col="blue")
cor(x,y)
# 0.5960396

e6

dati <- read.table("http://macosa.dima.unige.it/R/battito.txt",sep=",",header=TRUE)
summary(dati$BatPrima)
#   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
#  48.00   64.00   71.00   72.87   80.00  100.00 
summary(dati$Sesso)
#   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
#   1.00    1.00    1.00    1.38    2.00    2.00 
plot(c(45,105),c(0.5,2.5),type="n")
abline(h=axTicks(2),v=axTicks(1),lty=3,col="blue")
points(dati$BatPrima,dati$Sesso)
points(mean(dati$BatPrima),mean(dati$Sesso),pch=19,col="red")

cor(dati$BatPrima,dati$Sesso)
# 0.2853926

e7

# aggiungo alle istruzioni di e5
 mod = lm(y ~ x); mod$coefficients
(Intercept)           x 
 8.75000000  0.01973684 
abline(mod, col="brown",lwd=2)
mod2 = lm(x ~ y); mod2$coefficients
(Intercept)           y 
        -35          18 
#  x = a y + b  ->  ay = x-b  ->  y = (x-b)/a
g <- function(x) (x+35)/18
curve(g,add=TRUE,col="red",lwd=2)
points(mean(x),mean(y),lwd=4,col="blue")

e8

x <- c(1,2,3,4,5,6,7)
y1 <- c(4,5,4,5,4,5,4); cor(x,y1)
#  0
y2 <- c(1,3,2,5,4,5,7); cor(x,y2)
#  0.9097177
y3 <- c(7,4,2,1,2,4,7); cor(x,y3)
#  0

e9   Vedi l'esercizio 7 qui.