MAtematica per COnoscere e per SApere

Impostazione e Guida per gli insegnanti

Presentazione del progetto MaCoSa
  1. Finalità del progetto
  2. Impostazione del progetto
  3. I contenuti matematici
  4. Le schede di lavoro
Guide alle unità didattiche

Presentazione del progetto MaCoSa

1. Finalità del progetto

    MaCoSa è un progetto complessivo per l'insegnamento della matematica nella scuola secondaria superiore che il nucleo di ricerca didattica omonimo ha iniziato a elaborare e sperimentare da vari anni.  Perché questa scelta?  I motivi sono vari.

(1)  I programmi scolastici attuali sono molto diversi da quelli di vari decenni fa, ma molti libri di testo (sempre più voluminosi) e molti insegnanti continuano a leggerli come frutto di un'aggiunta di temi nuovi a temi già presenti, senza cogliere i cambiamenti e le riduzioni (drastiche) che dovrebbero investire i temi vecchi.  Per far fronte a ciò ci è sembrato opportuno mettere in luce la necessità di un'attività di programmazione che disarticoli e riaggreghi i temi elencati nei programmi in itinerari didattici che colgano le interazioni tra i vari temi, ne sfruttino le reciproche motivazioni e occasioni di esercizio e consolidamento tecnico, realizzino economie e sinergie fondendo o integrando argomenti matematici diversi (nel fare probabilità si fa anche algebra, l'uso delle coordinate comporta attività con le equazioni e offre possibilità per introduzioni alternative e più efficaci di molti concetti geometrici, l'uso della nozione di funzione permette di semplificare e raccordare vari concetti, … per non parlare delle possibilità che offre l'uso dei mezzi di calcolo).

(2)  I temi "nuovi" creano problemi anche perché di per sé comportano un insegnamento meno "tradizionale" in quanto il loro sviluppo necessariamente deve passare attraverso attività di matematizzazione (ogni problema probabilistico comporta la modellizzazione di un fenomeno casuale, mettere a punto un programma di argomento matematico per il calcolatore comporta spesso la schematizzazione in un modello matematico di una situazione problematica e, in ogni caso, la precisazione sotto forma di algoritmo di qualche procedimento e la sua traduzione in un linguaggio formale, …).

(3)  La natura della matematica e dei suoi modelli (ruolo delle definizioni e delle argomentazioni in matematica, caratteristiche dei modelli matematici rispetto ai modelli organizzati nelle altre discipline, organizzazione interna della disciplina, …) sono comprensibili gradualmente attraverso la costruzione di una rete complessa di riferimenti culturali ed esperienziali.

     Per questi motivi abbiamo ritenuto opportuno tentare la strada di riorganizzare temi e metodi matematici, e di riflettere sui problemi del loro insegnamento, all'interno di itinerari didattici di più ampio respiro conoscitivo, dando rilievo sia ai momenti della matematizzazione e della discussione dei limiti dei modelli matematici che a quello della analisi e messa a punto di collegamenti, descrizioni, ragionamenti, … di tipo interno alla matematica.
     Del resto MACOSA è un acronimo per "Matematica per Conoscere e per Sapere", etichetta con cui si vuole indicare la finalizzazione della nostra attività al miglioramento dell'insegnamento della matematica nella scuola secondaria superiore, del quale spesso sono poco curati sia gli aspetti conoscitivi (modelli matematici nella lettura e interpretazione della realtà) che gli aspetti culturali (la padronanza della matematica non solo "operativa", ma sapiente, cioè consapevole della sua natura, dei suoi concetti e dei suoi metodi).
     Del progetto sono stati elaborati e sperimenati itinerari didattici e schede di lavoro, in modo da renderlo adottabile come "libro di testo" on-line.

2. Impostazione del progetto

(1)   Per realizzare l'intreccio tra riflessioni interne e uso di modelli matematici abbiamo organizzato il progetto in itinerari didattici di ampio respiro,
    a volte riferiti a situazioni "reali" in cui introdurre, sviluppare, … modellizzazioni di tipo matematico, facendo anche riferimento a concetti di altre discipline (in genere le applicazioni della matematica sono mediate dai modelli delle altre discipline: la matematica non ha in sé tutti gli strumenti per "contatti fisici" diretti),
    a volte riferiti a temi esplicitamente matematici (riflessioni sulla disciplina "matematica": linguaggi per descrivere i vari tipi di modelli, generalizzazioni, proprietà dei modelli, relazioni tra modelli matematici diversi, modelli matematici che astraggono proprietà di altri modelli matematici, …).

(2)   Come obiettivi prioritari dell'insegnamento della matematica abbiamo assunto i seguenti:

a) 

rendere gli alunni consapevoli del ruolo e della natura dei modelli matematici

b)

far loro raggiungere un certo livello di abilità nell'applicare, elaborare, confrontare modelli matematici (attività da riferire al modo in cui si fa e si usa la matematica ai nostri giorni: delega ai mezzi di calcolo degli aspetti più meccanici, capacità di orientarsi, di scegliere i modelli matematici appropriati, di consultare manuali, … più che saper far calcoli "meccanici" e ricordare "ricette")

c)

renderli consci delle interazioni (oggi e nella storia) della matematica con il "resto",

d)

far percepire la scuola come sede di formazione culturale,

e)

concorrere all'educazione a leggere, scrivere, organizzarsi, dubitare, …

     Gli obiettivi a-c sono essenziali sia per chi non proseguirà gli studi (ruolo e uso della matematica nelle professioni), sia per chi proseguirà (scelte consapevoli degli studi successivi).
     Gli obiettivi d-e sono da perseguire attraverso le scelte di impostazione culturale - vedi (1) - e le scelte metodologiche - vedi (3) -. Essi sono essenziali per interagire concettualmente con gli alunni (come mettono in luce anche le ricerche sui processi di apprendimento):

I)  per evitare che le conoscenze sviluppate dalla scuola siano intese come una cultura ad hoc (da "trattenere" solo superficialmente e temporaneamente), per poter accedere ai fattori che sono alla origine delle difficoltà concettuali degli alunni, per trasformare i loro "bisogni" culturali in "interessi", …;
II)  per mettere gli alunni in grado di: comprendere definizioni, argomentazioni, testi di problemi; organizzare e comunicare ragionamenti; …

(3)   Per quanto riguarda i materiali didattici e altri aspetti metodologici: 
• si è scelto di organizzare gli itinerari didattici in unità didattiche composte ciascuna da più schede di lavoro:

a esercizi sparsi e dai contesti ristretti si sono preferite situazioni problematiche più ampie, in cui la attività di matematizzazione sia più significativa (• più strumenti matematici coinvolti,• esame più approfondito dei rapporti tra situazione e modelli matematici,• riferimenti a modelli propri di altre discipline,• scelta di situazioni che, in maniera culturalmente significativa per gli alunni, "veicolino" e costituiscano "prototipi" per i concetti matematici coinvolti; 
• le schede di lavoro presentano:
• parti da leggere, • inviti a discussioni, • quesiti che prevedono risposte articolate (orali o scritte) nella lingua naturale, • quesiti matematici più tradizionali, • quesiti che prevedono attività operative di altro genere (vedi sotto) e • quesiti più aperti, che comportano aspetti organizzativi (organizzarsi il foglio di lavoro, decidere quale questione affrontare prima, dove andare a cercare certe informazioni, …), • quesiti da affrontare collettivamente e • quesiti da affrontare individualmente; 
     alla fine di ogni scheda (escluse quelle dell'unità didattica introduttiva) allo studente è richiesto di segnare con un evidenziatore le parti in cui viene esemplificato o descritto il significato di alcune "parole chiave" (di cui viene fornito un elenco), fare esempi d'uso di questi termini e sintetizzare per iscritto il contenuto della scheda (ciò serve anche come avvio all'uso del "dizionario": vedi sotto); 
• questa organizzazione dell'insegnamento dovrebbe rendere possibile una verifica dinamica degli alunni (avere un'idea più attendibile di come i singoli alunni apprendono nel corso dell'anno e dell'andamento complessivo della classe); 
• la verifica dinamica è particolarmente importante per il nostro progetto, che non ha obiettivi "immediati" di produttività nel calcolo meccanico o nella riproduzione di definizioni e dimostrazioni, ma
• mira a sviluppare l'organizzazione mentale dei concetti,
• cerca di far emergere e mettere a confronto o in contraddizione le idee, i pregiudizi, le conoscenze distorte degli alunni,
• presta attenzione alle ambiguità/confusioni a cui possono dar luogo le diverse semantiche del linguaggio comune e dei linguaggi matematici, … ; con un'impostazione di questo genere, in cui si mira ad acquisizioni più profonde e generali, la verifica va effettuata in un arco di tempo più ampio; 
• per quanto riguarda l'adattamento del progetto a livelli di preparazione/capacità diversi e a situazioni scolastiche diverse, la graduazione dei quesiti, la loro presentazione in modo da essere affrontati con diversi livelli di astrazione e la ripresa a spirale degli argomenti in uu.dd. successive dovrebbero rendere meno difficile (rispetto all'insegnamento "tradizionale") far partecipare tutti al "filo del discorso" e alla comprensione degli aspetti essenziali dei concetti matematici introdotti; la presenza di paragrafi facoltativi o, per gli ultimi anni, di schede facoltative consente l'uso del materiale in classi di scuole con programmi "deboli" o "forti" (o con diversi livelli di "utenza"); 
• le schede presentano molte attività "tradizionalmente" poco presenti:
• uso di mezzi di calcolo, riga, squadra, goniometro, carta millimetrata e quadrettata, …; • attività di calcolo mentale; • osservazione, descrizione, analisi di fenomeni presenti nella vita quotidiana;
     così si vuole • sia attivare maggiormente gli alunni (attraverso momenti di lavoro più operativo/concreto si possono recuperare allo studio e attivare concettualmente alunni non coinvolti dall'insegnamento tradizionale), • sia proporre attività di esercizio extrascolastico su quanto studiato (e, indirettamente, coinvolgere le famiglie, facendo percepire la natura culturale del lavoro proposto: le famiglie, per fattori vari, sono spesso ostili alle impostazioni non tradizionali);

• tutte le unità didattiche prevedono spunti per attività al calcolatore (in aula computer, in aula normale col proiettore, a casa da parte degli alunni, …, a seconda dei casi e delle scelte dell'insegnante), tutte con software online; le schede sono in formato Html, ingrandibile e usabile facilmente in aule scolastiche dotate di proiettore o di megaschermo-tv;

• alle unità didattiche si affianca un eserciziario (gli esercizi sono utilizzabili durante o dopo - per ripassi o consolidamenti - lo svolgimento delle schede ai cui temi si riferiscono, possono essere impiegati per compiti a casa, per compiti in classe, per attività di consolidamento mirate su qualche alunno, …) e vari altri materiali, accessibili da rete.

3. I contenuti matematici

     Il progetto assume come riferimento i temi previsti dai programmi, che ricalcano quelli dei programmi dei livelli scolastici precedenti.  Ricordiamo che l'ordine di elencazione dei temi e, all'interno di questi, dei vari contenuti, non intende suggerire alcun ordine di svolgimento: nelle indicazioni didattiche presenti nei programmi si sottolinea che l'insegnante deve disaggregare i programmi e riaggregarne e riordinarne i contenuti secondo opportuni itinerari didattici.
     Nel seguito, tema per tema, espliciteremo alcune osservazioni critiche e le scelte, interpretative, che abbiamo operato nella nostra attività (finalizzata anche a indurre innovazioni migliorative dei percorsi formativi).
     La scheda 3 dell'unità didattica La matematica e i suoi modelli illustra in maniera abbastanza esauriente l'immagine della matematica e gli atteggiamenti verso di essa che cerchiamo di "costruire" con la nostra proposta didattica.

    Nel seguito illustriamo brevemente come abbiamo deciso di svilupparne i contenuti nel primo biennio, rinviando a parti specifiche delle guide alle varie unità didattiche per approfondimenti.

La geometria del piano e dello spazio 
     Essendo, ovviamente, impraticabile una presentazione assiomatica della geometria, abbiamo deciso di introdurre alcuni concetti geometrici per via analitica: 
riferendosi al piano: • punto come coppia di numeri reali, • figura come insieme di punti, • traslazione come particolare funzione numerica a 2 input e 2 output, • distanza come opportuna funzione numerica a 4 input 1 output, • direzione come elemento dell'intervallo [0°,360°), … 
     e, poi, di introdurre altri concetti e affrontare problemi e dimostrazioni a volte analiticamente, a volte sinteticamente (ad esempio una semiretta, invece che analiticamente, mediante un sistema equazione+disequazione, può essere descritta come l'insieme di punti in cui un punto dato può essere trasformato mediante traslazioni di direzione fissata). 
     Questi concetti vengono introdotti man mano come modelli matematici che astraggono e generalizzano concetti "fisici" (dalle posizioni su righe e su superfici individuate con strumenti di misura ai punti come n-uple di numeri, dalle direzioni scandite da un goniometro alla associazione di un intervallo [a,b) ai punti del cerchio x²+y²=1, …), dopo lo svolgimento di riflessioni e attività operative (con strumenti da disegno e di misura) in situazioni "concrete". 
     Questa impostazione dovrebbe essere riferita ad un insegnamento geometrico che anche nei livelli scolastici precedenti sia stato impostato in maniera simile, seguendo le indicazioni dei programmi. Le schede di lavoro, comunque, sono inpostate in modo da rivedere/ricostruire il significato della geometria anche nel caso di alunni a cui sia stato impartito un insegnamento che non tenesse conto di tali indicazioni. 
     In questa impostazione, il piano euclideo è introdotto come R² dotato della distanza euclidea. Rinunciando a una presentazione assiomatica, non si vede come se ne possa dare una presentazione diversa da questa (ossia come piano cartesiano introdotto per "modellizzare matematicamente" il concetto pre-matematico di piano euclideo).
     Il cerchio, in quanto è il luogo geometrico più facile e più "significativo", è un concetto geometrico introdotto tra i primi e su di esso poggia l'introduzione di vari altri concetti (direzione, funzioni trigonometriche, …).
     Le funzioni trigonometriche (anche la funzione tangente) vengono introdotte precocemente e non solo per gli angoli convessi, in quanto ciò, oltre ad essere una scelta secondo noi didatticamente poco efficace, sarebbe difficilmente conciliabile con l'introduzione delle rotazioni, con i riferimenti alle applicazioni extra-matematiche, con l'uso dei mezzi di calcolo, ….
     Le direzioni (e le misure di angoli) e le misure di aree e lunghezze sono introdotte mediante un uso non formalizzato del concetto di limite (non con considerazioni su "classi contigue" o simili), in accordo con l'impostazione - vedi più avanti - con cui sono stati introdotti i numeri reali.
     Le coniche sono introdotte a partire dal cerchio e dai grafici delle funzioni x → ax² e x → a/x, utilizzando i movimenti piani. Vengono introdotte anche altre trasformazioni geometriche, intrecciando in modo opportuno caratterizzazioni sintetiche e analitiche. 
     Accanto al piano euclideo, si presentano subito, senza approfondimenti, altri spazi matematici: spazi finiti, spazi con altre metriche, spazi con altre dimensioni, … per mettere meglio a fuoco la natura "astratta" (e le connesse potenzialità di modellizzazione) dei concetti geometrici. Si mettono gradualmente a fuoco le differenze tra argomentazioni intutive e dimostrazioni, si evidenziano i conflitti tra terminologia matematica e linguaggio comune (i diversi significati di angolo, direzione, distanza, curva, ...). 
     Questi concetti verranno ripresi e approfonditi negli anni successivi, nell'ottica di una ripresa a "spirale" degli argomenti, e tenendo conto che per gli stessi argomenti si possono prevedere diversi livelli di approfondimento: non si tratta di fare degli "anticipi", ma di utilizzare, in modi opportuni, terminologie e concetti che trovano naturali intrecci con altri concetti e di porre le basi per la costruzione di successivi livelli di formalizzazione. Ci pare fondamentale questo aspetto, sia per dare una immagine corretta e "viva" della matematica, sia per non favorire irrigidimenti mentali che identificano i concetti con particolari definizioni, particolari procedimenti di calcolo, … e li classificano in aree (la geometria, l'algebra, l'analisi, la probabilità, …) non comunicanti.  Verranno anche introdotte riflessioni più generali su definizioni e dimostrazioni, la geometria tridimensionale, intrecciata anche alla problematica della rappresentazione piana di solidi e di superfici curve, lo studio dei volumi e gli intrecci col calcolo integrale. 
     La presentazione delle tematiche geometriche è fortemente intrecciata a quella di altri argomenti: funzioni, equazioni, numeri, uso del calcolatore, …

Insiemi numerici e calcolo - Relazioni e funzioni 
     Per l'introduzione dei numeri abbiamo scelto un approccio costruttivista; in breve:
–  numeri reali come opportune successioni di caratteri (cifre, "." e "–"), con una opportuna relazione di "eguaglianza" (3.7999…=3.8000…, ecc.),
–  definizione algoritmica delle operazioni sui numeri decimali limitati,
–  estensione di queste ai numeri reali mediante i concetti di approssimazione e, senza formalizzazioni, di limite/funzione continua (es.: per ottenere il risultato di x·y con una certa precisione basta operare su intervalli di indeterminazione per x e per y sufficientemente piccoli).
     I numeri naturali, interi, periodici/razionali, decimali limitati e limitati in altre basi vengono studiati come particolari sottoinsiemi di R chiusi rispetto ad alcune operazioni. 
     Non si è ritenuto opportuno né, ovviamente, introdurre i numeri reali per via assiomatica, né presentare la costruzione dei vari insiemi numerici a partire da N:
     sarebbe dispendioso e difficile introdurre gli strumenti algebrico-logico-insiemistici per effettuare "correttamente" la costruzione – anche il solo passaggio agli interi –
     e, soprattutto, a questo livello, non se ne vedono motivazioni "didattiche" (in un corso universitario di algebra la costruzione di Q a partire da N può essere invece un'occasione di applicazione di concetti come partizione, immersione, …) o "culturali" (in un corso universitario sui fondamenti della matematica può essere invece significativo costruire con tecniche insiemistiche a partire dall'aritmetica di Peano un modello per gli assiomi dei numeri reali). 
     L'introduzione dei numeri viene proposta intrecciata ad argomenti di statistica, a riflessioni sull'uso dei mezzi di calcolo, sui codici, … 
     Tra i primi concetti viene introdotto quello di funzione, sotto forma sia di algoritmo che di tabella e di grafico. Pur in assenza di esplicite definizioni (come: "dicesi funzione un insieme di coppie (x,y) tale che …") si tratta di presentazioni sufficientemente rigorose (il concetto di algoritmo può essere precisato riferendosi a un linguaggio di programmazione, il grafico e la tabella sono insiemi di coppie – o di n-uple – di numeri tali che …). Il concetto di funzione viene meglio formalizzato in unità didattiche successive. 
     Il riferimento a questo concetto, inevitabile in una visione non "preistorica" della matematica e dei suoi usi, entra in gioco nella definizione dei termini (espressioni algebriche) e, quindi, delle formule (equazioni e disequazioni).
     Abbiamo dato particolare rilievo all'analisi della struttura dei termini (che ci pare importante per impostare su basi solide l'uso dei linguaggio algebrico e dei linguaggi formali) e alla messa a punto di un lessico "algebrico" generale, più vicino alla terminologia impiegata dalle applicazioni per il calcolo simbolico che a quella "scolastica".
     Le riflessioni, di approfondimento e di sintesi, sulla risoluzione (grafica, numerica e simbolica) di equazioni, sistemi e disequazioni e sulle funzioni polinomiali sono volte non tanto alla messa a punto di specifiche tecniche, quanto alla individuazione di metodi basati sull'uso, più o meno formalizzato, di alcuni concetti generali (funzione inversa, funzione iniettiva, continuità, connettivi logici, … ). 
     Sono previsti riferimenti all'uso del computer, sia per la rappresentazione e lo studio grafico di funzioni ed equazioni che per attività di calcolo simbolico. L'uso del computer è importante anche per motivare, esercitare e inquadrare in un contesto più generale l'uso dei formali, di cui l'usuale linguaggio algebrico è solo un esempio (vedi, più avanti, i commenti al tema "elementi di logica e informatica"). 
     Vengono affrontate sin dalle prime unità didattiche vari tipi di funzioni (e di equazioni), anche se all'inizio ne vengono studiate più a fondo solo alcune (senza questo inquadramento più generale non si potrebbero mettere in luce, per contrasto, le caratteristiche di queste ultime).
     Nello studio funzioni ed equazioni si è evitato di introdurre tecniche ad hoc per questioni che possono essere affrontate con metodi più generali e di sviluppare su casi particolari aspetti che, senza dispendio e con maggiore significatività, possono essere visti in contesti più generali.
     Si propongono, quindi, risoluzioni per via grafica/numerica anche di equazioni, disequazioni e sistemi di cui non si studiano ancora procedimenti risolutivi di tipo simbolico (cioè "algebrico"), si considerano i radicali quadratici come casi particolari di elevamenti alla potenza, si studiano procedimenti generali per trasformare termini in termini equivalenti, comporre e operare con funzioni di vario genere (non solo nei casi particolari delle funzioni polinomiali, delle traslazioni, …), si individuano "analogie strutturali" tra funzioni e tra relazioni diverse, …
     Vengono messe in luce, precocemente, alcune differenze e analogie tra strutture (numeriche e non) diverse (insiemi numerici, insiemi di funzioni, connettivi, …)

Elementi di probabilità e di statistica 
     Sin dall'inizio viene dato ampio spazio alla statistica descrittiva, in quanto tema che si presta all'introduzione e alla revisione in contesti significativi di molti concetti matematici di base, dai numeri al calcolo approssimato, dal concetto di funzione alla costruzione e all'uso delle formule, dalle rappresentazioni grafiche di relazioni numeriche alla lettura e alla messa a punto di algoritmi. 
     Gli strumenti di statistica descrittiva servono poi come punti di riferimento per l'introduzione alla probabilità (concetto di distribuzione, proprietà della funzione-probabilità, …). Cenni di calcolo combinatorio sono presentati nella classe seconda in quanto utili per affrontare alcuni esempi significativi di calcolo delle probabilità (ma se ne è data una presentazione indipendente, per non favorire l'idea che il calcolo combinatorio sia fondamentale o sia una specie di "capitolo zero" del calcolo delle probabilità).
     Il concetto di probabilità è stato presentato mettendone a fuoco le proprietà come "misura", evitando di ricorrere a "definizioni" non-assiomatiche note come "classica", "frequentista" e "soggettivista" che tali non sono, ma sono solo approcci alla determinazione di alcuni valori di probabilità (farle passare per "definizioni matematiche" contribuirebbe a oscurare la comprensione sia della natura dei modelli matematici che del ruolo del calcolo delle probabilità; altro conto sarebbe inquadrare storicamente queste "definizioni" come tentativi definitori tipici di un periodo in cui la matematica non aveva ancora assunto un proprio status autonomo).
     Variabili casuali ed eventi sono introdotti con un approccio non insiemistico.

Elementi di logica e di informatica 
     La "logica", a un primo livello, non può che essere intesa in senso lato, come educazione all'attenzione agli aspetti linguistici, all'esposizione comprensibile delle argomentazioni, … . La riflessione sulle questioni linguistiche è diffusa in quasi tutte le voci.
     Grande rilievo, in molte schede, viene dato alla discussione delle analogie e delle differenze tra linguaggio formale e linguaggi artificiali, aspetto centrale anche per l'avvio all'uso dei linguaggi di programmazione e di altro software. 
     Alla costruzione e alla rappresentazione di algoritmi e all'uso del computer per analizzare e risolvere problemi si ricorre in varie voci, così come accade nel normale lavoro di quasi tutti i matematici e di chi usa la matematica in altre scienze, tecniche o mestieri.
     In varie voci, specificamente dedicate al calcolatore, viene svolta anche una riflessione sugli automatismi, sulle differenze tra questi e altre "macchine", sull'importanza di un uso consapevole dei mezzi di calcolo, sul ruolo della matematica (come "linguaggio" e "strumento" per realizzare sistemi automatici), …

4. Le schede di lavoro

     Per una descrizione sintetica dell'articolazione del progetto rimandiamo al seguente sommario.

     Nelle guide alle varie unità didattiche sono date indicazioni più complete sulla gestione del materiale (tempi di svolgimento, collegamenti fra schede, parti opzionali, …)
     In breve, possiamo dire che nel caso delle classi con programma "forte", la scheda 2 di "Per strada" può essere affrontata sia in classe prima che in seconda. Nel caso delle altre scuole questa scheda è prevista per la classe seconda; se lo si ritiene il caso, si può lasciare per la seconda anche la scheda 1 di "La matematica e lo spazio", o, addirittura, la scheda 1 di Per strada. 
     Molte schede si prestano ad attività di collaborazione con insegnanti di altre discipline (del resto l'esame di stato prevede anche verifiche in questa direzione) o, quanto meno, alla segnalazione di collegamenti con altre discipline: dall'Italiano (non solo per le riflessioni sui linguaggi, ma anche per attività di lettura, sintesi,… che l'insegnante di lettere può far svolgere su schede di lavoro del progetto) alla Fisica e alla Chimica, dal Disegno (geometria, uso del calcolatore) alle Scienze della Terra o alla Geografia (coordinate, trasformazioni geometriche, scale, …), dalla Biologia (grafici, probabilità, fattori di scala, …) a Diritto ed Ecomomia (modelli matematici per l'economia e le scienze sociali), … 
     Nelle guide di varie unità didattica (e, in particolare, nella guida alla prima unità didattica), sono segnalati problemi relativi al raccordo con la scuola secondaria inferiore.

     L'indice per voci, utile agli studenti per rivedere i vari temi affrontati, mette in luce come i contenuti matematici siano affrontati in più schede, confermando le caratteristiche del progetto (integrazione di argomenti comuni a più aree matematiche, ripresa a spirale dei contenuti con diversi livelli di applicazione e di formalizzazione, …).  È utile all'insegnante tener conto di questo aspetto sia per calibrare e distribuire nei vari anni i livelli di approfondimento e consolidamento e per evidenziare agli alunni collegamenti con idee, applicazioni, riflessioni, … su un certo argomento già avviate in schede precedenti.

Guide alle unità didattiche

    Questa parte è utile ai soli insegnanti.  I docenti interessati possono accedere ad essa utilizzando questo link.