Altri spazi vettoriali
Il concetto di spazio vettoriale può essere
generalizzato da quello degli usuali vettori tridimensionali ad un generico insieme S di oggetti matematici (che considereremo "vettori")
• per il quale sia definta una operazione di "somma" +
[ ossia una funzione + che ad x e y in S associ un elemento
di S stesso]
• e di "moltiplicazione per uno scalare"
[ ossia
una funzione che a x in S e a k numero - qualunque reale, nel qual caso di parla
di spazi vettoriali su R, su cui ci soffermeremo,
o qualunque complesso, nel qual caso si parla di spazi vettoriali
su C - associ kx in S]
•
che abbia una identità "0" per "+" rispetto a cui sia un gruppo commutativo
e
• per il quale valgano la possibilità di riordinare le moltiplicazioni
per gli scalari
[ h(kx) = (hk)x ],
•
le proprietà distributive
[ (h+k)x = hx+kx,
k(x+y) = kx+ky ]
•
e la proprietà che lega lo zero di S al numero 0
[ 0x = 0 ].
Per un semplice esempio si pensi alla, ovvia, generalizzazione di quanto visto
per R2 e R3 a Rn (n ≥ 1).
Per un altro esempio di spazio vettoriale (su R) si prenda S = {funzioni continue su [a,b]} con
(f+g)(x) = f(x)+g(x), (kf)(x) = kf(x)
prendendo come 0 di S la funzione
nulla (che ad ogni x associa 0).
Sono particolarmente interessanti i casi in cui S
possa essere dotato di una norma ||.|| e un prodotto scalare (o interno) · [oltre che "x·y", impiegato
in particolare nel caso di Rn, si usa
Se S è dotato di un
prodotto scalare possiamo
anche dotarlo di una norma ponendo ||v|| = √(v·v).
Nel caso di Rn, posto x = (x1,..., xn),
y = (y1,..., yn),
abbiamo:
x·y = x1y1 + ... + xnyn,
||x|| = √(x·x) = √(x12 + ... + xn2).
[Nota: il prodotto vettoriale è definito solo per n=3]
Nel caso di S = {funzioni continue su [a,b]}, con una evidente analogia, possiamo
prendere:
f·g = ∫[a, b] f(x)g(x) dx, ||f|| = √(f·f) = √(∫[a, b] f(x)2 dx)
Dalla norma possiamo ricavare la distanza d(v, u) = ||v - u||.
Nel caso dello spazio di funzioni S avremmo: d(f, g) = √( ∫[a, b] (f(x)-g(x))2 dx).
[si vedano le considerazioni sulla distanza di funzioni svolte a proposito delle
serie di funzioni]
Col prodotto scalare possiamo generalizzare il concetto di ortogonalità:
x è ortogonale a y se x·y = 0.
Nel caso dello spazio di funzioni S abbiamo:
f ortogonale a g se ∫[a, b] f(x)g(x) dx = 0.
Esempi: f(x) = sin(x), g(x) = cos(x), [a,b] = [-π π] | ![]() |
f(x) = sin(x), g(x) = sin(2x), [a,b] = [-π π] | ![]() |
f(x) = sin(x), g(x) = sin(3x), [a,b] = [-π π] | ![]() |
f(x) = x, g(x) = x2, [a,b] = [-h, h] | ![]() |
Come nel caso di R3, abbiamo che un numero finito di vettori tra loro ortogonali sono linearmenti indipendenti, e che essi possono essere normalizzati (ossia ridotti ad avere norma uguale ad 1) moltiplicandoli per il reciproco della loro norma.
Nel caso dello spazio delle funzioni continue su un intervallo [a,b] esistono infiniti vettori
linearmenti indipendenti. Basti prendere, nel caso di un intervallo di ampiezza 2π, alle le funzioni
1
sin(nx)
sin(2π/(b-a)nx)
Nel caso di R3 presa comunque una base ortonormale e1, e2, e3 (ei di norma 1 e tra loro ortogonali), possiamo scomporre ogni vettore
x nelle sue componenti rispetto a tale base, ossia esprimerlo come x = (x·e1)e1
+ (x·e2)e2 + (x·e3)e3
(x·ei è la i-esima coordinata nel sitema di riferimento associato a tale base).
La cosa vale anche per Rn. Può essere generalizzata in modo opportuno
anche agli spazi di dimensione infinita, ossia con infiniti vettori linearmente indipendenti
x1, x2, x3,
. Si ha che:
• se esiste una serie del tipo ∑ i=1..∞ cixi che converge (secondo
la norma dello spazio) a x, deve essere ci = x·xi;
• x = ∑ i=1..∞ (x·xi)xi, ossia la serie
∑ i=1..∞ (x·xi)xi converge (secondo
la norma dello spazio) e ha per somma x se e solo se la serie