Punti di estremo relativo e assoluto
[1] Definizioni
[2] Teoremi
[2.1]
Teorema 1
[2.2]
Osservazioni
Definizioni: Sia f una funzione
definita su di un insieme A contenuto in R. Allora:
-
Un punto x0 si dice essere di MASSIMO RELATIVO
per la funzione f se esiste un intorno I di x0 tale che f(x)£f(x0)
per ogni x in I.
-
Un punto x0 si dice essere di MINIMO RELATIVO per
la funzione f se esiste un intorno I di x0 tale che f(x0)£f(x)
per ogni x in I.
-
Un punto x0 si dice essere di MASSIMO ASSOLUTO
per la funzione f se f(x)£f(x0)
per ogni x in A.
-
Un punto x0 si dice essere di MINIMO ASSOLUTO per
la funzione f se f(x0)£f(x)
per ogni x in A.
-
Un punto x0 si dice essere di ESTREMO RELATIVO
(ASSOLUTO) per la funzione f se esso è di minimo o di massimo
relativo (assoluto) per f.
Ovviamente, ogni punto di estremo assoluto, è anche punto di estremo
relativo.Non è vero il viceversa.
Alcune delle situazioni descritte sono visualizzate dai seguenti grafici:
Come si può osservare dalla figura, i punti x1 e x2
risultano rispettivamente punto di minimo e punto di massimo relativo per
la funzione f. Si osserva che essi sono anche di estremo assoluto. I punti
a e b risultano essere rispettivamente di massimo e di minimo relativo
per la funzione, ma non sono di estremo assoluto.
E' importante osservare che i valori d minimo o di massimo assoluto
possono anche essere assunti da più punti distinti: ad esempio consideriamo
la seguente funzione:
In essa i due punti distinti x1 e x2 risultano essere
di massimo assoluto.
Teoremi
Teorema 1:
Sia f una funzione definita su di un intervallo I, e sia x0
punto interno a I. Supponiamo inoltre che:
-
se x0 è punto di estremo relativo per f
Allora si ha f '(x0)=0.
Geometricamente, il teorema si interpreta nel modo seguente:
Se il punto x0 è un punto interno di estremo relativo
e la funzione è in esso derivabile, allora la retta tangente al
grafico della funzione nel punto di coordinate (x0 , f(x0))
risulta orizzontale.
Il teorema non si può invertire,
cioè in generale non è vero
"f è derivabile in x0 f' (x0)=0 => x0
è un punto di estremo relativo per f".
A titolo di esempio consideriamo il caso della funzione f(x)=x3.
Essa ha il seguente grafico:
Come si può osservare, 0 non è punto di estremo relativo
per la funzione f: a sinistra di 0, i valori di f risultano tutti negativi;
al contrario a destra di 0 i valori di f risultano tutti positivi. Tuttavia
la tangente alla curva nel punto (0, 0) risulta orizzontale.
Collegamenti
Definizione di derivata
Interpretazione geometrica del concetto di
derivata
Regole di derivazione
Teoremi principali del calcolo differenziale
Ricerca di massimi e di minimi