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Scheda 4 - Funzioni di densità e di ripartizione

3. Proprieta` della densita` gaussiana. "Calcoli". La gaussiana STANDARD.

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  Traccia (con Poligon) il grafico della densità gaussiana per diversi valori di σ e (vedi l'help) il grafico della pendenza della stessa funzione. Discuti il significato geometrico/analitico di σ.

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  Calcola l'area compresa tra il grafico della densità gaussiana, l'asse x e e le rette x = media–σ e x = media+σ per diversi valori di σ. Discuti il significato probabilistico di σ.

    Si può congetturare su vari esempi e dimostrare (con un ragionamento simile a quello svolto alla fine di §2) che l'integrale tra media–h·σ e media+h·σ di una densità gaussiana dipende solo da h.

    Ad esempio abbiamo che per ogni media μ e ogni scarto quadratico medio σ:

    Quindi per calcolare Pr(UI), se U ha distribuzione gaussiana possiamo ricondurci (in mancanza di calcolatore con cui calcolare approssimativamente gli integrali definiti) a una tabulazione della funzione integrale della densità gaussiana "standard", cioè con media 0 e scarto quadratico medio 1 (la phi; di §1), come quella seguente. La densità gaussiana non è infatti una funzione integrabile elementarmente.

x              dx 
x              dx 
 
   -4          .00003  
   -3.9        .00005
   -3.8        .00007
   -3.7        .00011
   -3.6        .00016
   -3.5        .00023
   -3.4        .00034
   -3.3        .00048
   -3.2        .00069
   -3.1        .00097
   -3          .00135
   -2.9        .00187
   -2.8        .00255
   -2.7        .00347
   -2.6        .00466
   -2.5        .00621
   -2.4        .00820
   -2.3        .01072
   -2.2        .01390
   -2.1        .01786
   -2          .02275
   -1.9        .02872
   -1.8        .03593
   -1.7        .04457
   -1.6        .05480
   -1.5        .06681
   -1.4        .08076
   -1.3        .09680
   -1.2        .11507
   -1.1        .13567
   -1          .15865
   -.9         .18406
   -.8         .21186
   -.7         .24196
   -.6         .27425
   -.5         .30854
   -.4         .34458
   -.3         .38209
   -.2         .42074
   -.1         .46017
   0           .50000
  
   0           .50000  
   .1          .53983  
   .2          .57926  
   .3          .61791  
   .4          .65542  
   .5          .69146  
   .6          .72575  
   .7          .75804  
   .8          .78814  
   .9          .81594  
   1           .84134  
   1.1         .86433  
   1.2         .88493  
   1.3         .90320  
   1.4         .91924  
   1.5         .93319  
   1.6         .94520  
   1.7         .95543  
   1.8         .96407  
   1.9         .97128  
   2           .97725  
   2.1         .98214  
   2.2         .98610  
   2.3         .98928  
   2.4         .99180  
   2.5         .99379  
   2.6         .99534  
   2.7         .99653  
   2.8         .99744  
   2.9         .99813  
   3           .99865  
   3.1         .99903  
   3.2         .99931  
   3.3         .99952  
   3.4         .99966  
   3.5         .99977  
   3.6         .99984  
   3.7         .99989  
   3.8         .99993  
   3.9         .99995  
   4           .99997
In qualche manuale   è indicato  Φ(x)  o  Φ*(x)      

    Sfruttando la simmetria della gaussiana potremmo fare i calcoli usando solo la tabulazione per x<0 o quella per x>0

    Vediamo ad esempio come calcolare Pr(–1.2 ≤ U ≤ 1.6) nel caso in cui U abbia distribuzione gaussiana con M(U)=1.2 e σ(U)=0.8.

    Mi riconduco a X con distribuzione gaussiana e m=0, σ=1 con la sostituzione t = (x–M(U))/σ(U) (traslo in modo che l'asse di simmetria diventi l'asse x e cambio la scala orizzontale in modo che l'ascissa del punto di flesso diventi 1):

Pr(-1.2 ≤ U ≤ 1.6)  =  Pr((-1.2–1.2)/0.8 ≤ X ≤ (1.6–1.2)/0.8))
=  Pr(–3 ≤X≤ 0.5)  =  Pr(X≤0.5) – Pr(X≤–3)

= [usando la tabella] 0.69146–0.00135 = 0.69011 = 69.0%.

Nota. Se la variabile aleatoria U è continua, ovviamente Pr(U=h)=0 per ogni h: ci riconduciamo infatti al calcolo di un integrale su un intervallo di ampiezza nulla. In particolare si ha che Pr(U<h)=Pr(U≤h).

Naturalmente (al di fuori dell'ambientente scolastico …) è praticamente nulla la probabilità che capiti di fare un calcolo del tipo quelli illustrati sopra senza disporre di un mezzo di calcolo, e di dover ricorrere quindi a una tabella come la precedente.

Cliccando QUI potete attivare uno script che realizza una "calcolatrice" per effettuare calcoli di questo tipo [se avete aperto POLIGON un programma del genere non serve].

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